4^{\mathbf{a}} Questão: (10 pontos) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x)=e^{x}+2 x-3. Mostre que existe pelo menos uma raiz real da equação f(x)=0.

Passo 1

O enunciado define a função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=e^{x}+2x-3
e pede para mostrar que a equação f(x)=0 tem pelo menos uma solução real. O conteúdo principal é o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário), que exige continuidade de f e valores de sinais opostos em dois pontos.

Passo 2

Verificamos que f é contínua em \mathbb{R} porque é soma da exponencial e^x (contínua) com a função linear 2x (contínua) e a constante -3.

Passo 3

Calculamos f em dois pontos para obter sinais opostos. Por exemplo,
f(0)=e^{0}+2\cdot0-3=1-3=-2<0
e
f(2)=e^{2}+2\cdot2-3=e^{2}+1>0.

Passo 4

Como f é contínua e f(0)\cdot f(2)<0, o Teorema de Bolzano garante que existe pelo menos c\in(0,2) tal que
f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real da equação f(x)=0, situada em algum ponto c\in(0,2).

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