2^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: Determine, caso existam, os seguintes limites:
(10 \mathrm{pts}) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4 x^{2}+1}}{2 x-6}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{4x^2+1}}{2x-6}.
O conteúdo aqui é limite de função racional envolvendo raiz quadrada de polinômio quando x tende a -\infty. Para resolver, vamos usar a técnica de fatorar x dentro da raiz e no denominador, lembrando que para x\to -\infty vale \lvert x\rvert=-x.

Passo 2

Escrevemos a raiz de modo a extrair \lvert x\rvert:
\sqrt{4x^2+1} =\sqrt{x^2\bigl(4+\tfrac1{x^2}\bigr)} =\lvert x\rvert\sqrt{4+\tfrac1{x^2}}.
Como x\to -\infty, temos \lvert x\rvert=-x. Logo,
\sqrt{4x^2+1}=-x\sqrt{4+\tfrac1{x^2}}.

Passo 3

Fatoramos x no denominador:
2x-6 =x\Bigl(2-\tfrac6{x}\Bigr).
Assim, a expressão original fica
\frac{\sqrt{4x^2+1}}{2x-6} =\frac{-x\sqrt{4+\tfrac1{x^2}}}{x\bigl(2-\tfrac6{x}\bigr)} =-\frac{\sqrt{4+\tfrac1{x^2}}}{2-\tfrac6{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o limite da forma simplificada
-\frac{\sqrt{4+\tfrac1{x^2}}}{2-\tfrac6{x}} \quad\text{quando }x\to -\infty.
Como \tfrac1{x^2}\to0 e \tfrac6{x}\to0, temos \sqrt{4+\tfrac1{x^2}}\to2 e 2-\tfrac6{x}\to2.

Passo 5

Portanto, o limite é
-\frac{2}{2}=-1.

Resposta

-1

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