1^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: Resolva cada item abaixo:
(10 pts) Prove, por definição, que \lim _{x \rightarrow 3} x^{2}-4=5.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to3}\bigl(x^2-4\bigr)=5.
O conteúdo é definição de limite de função real em ponto finito: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, então |(x^2-4)-5|<\varepsilon.

Passo 2

Escrevendo a condição que queremos satisfazer, para dado \varepsilon>0 procuramos \delta>0 tal que
\text{se }0<|x-3|<\delta\quad\text{então}\quad |(x^2-4)-5|<\varepsilon.ã

Passo 3

Calculemos a diferença em módulo:
|(x^2-4)-5| = |x^2 - 9| = |x-3|\;|x+3|.
Para controlar esse produto, precisamos limitar |x+3|.

Passo 4

Escolhemos primeiro restringir \delta\le1. Assim, se 0<|x-3|<\delta\le1, então
2 < x < 4 \quad\Longrightarrow\quad 5 < x+3 < 7 \quad\Longrightarrow\quad |x+3|<7.
Logo, sempre que 0<|x-3|<\delta\le1, temos
|x^2-9| = |x-3|\;|x+3| < 7\,|x-3|.

Passo 5

Para garantir 7\,|x-3|<\varepsilon, basta exigir
|x-3| < \frac{\varepsilon}{7}.
Logo, definimos
\delta = \min\!\Bigl\{1,\;\frac{\varepsilon}{7}\Bigr\}.
Com essa escolha, se 0<|x-3|<\delta, então ao mesmo tempo |x-3|<1 e |x-3|<\varepsilon/7, implicando
|x^2-4 - 5| = |x^2-9| < 7\,|x-3| < 7\cdot\frac{\varepsilon}{7} = \varepsilon.

Resposta

Dessa forma, para todo \varepsilon>0 escolhemos \delta=\min\{1,\varepsilon/7\} e garantimos que 0<|x-3|<\delta implica |x^2-4-5|<\varepsilon. Portanto,
\lim_{x\to3}\bigl(x^2-4\bigr)=5.

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