Questão: Resolva cada item abaixo:
(10 pts) Prove, por definição, que
.
(10 pts) Prove, por definição, que
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite
-
, que
O conteúdo é definição de limite de função real em ponto finito: mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, então
.
Passo 2
Escrevendo a condição que queremos satisfazer, para dado
procuramos
tal que
Passo 3
Calculemos a diferença em módulo:
Para controlar esse produto, precisamos limitar
.
Passo 4
Escolhemos primeiro restringir
. Assim, se
, então
Logo, sempre que
, temos
Passo 5
Para garantir
, basta exigir
Logo, definimos
Com essa escolha, se
, então ao mesmo tempo
e
, implicando
Resposta
Dessa forma, para todo
escolhemos
e garantimos que
implica
. Portanto,