\mathbf{6}^{\mathbf{a}} Questão. Calcule a inversa, se existir, da matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 4 & 1 \\\\ -2 & 3 \end{array}\right)
Caso não exista, justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa, se existir, da matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
Informações dadas: os quatro elementos de A são 4, 1, -2 e 3. A única pergunta é: existe A^{-1}? Se sim, encontrar A^{-1}; se não, justificar por que não existe.]

Passo 2

Regra prática para matrizes 2\times2: para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a inversa existe se, e somente se, o determinante \det=\,ad-bc for diferente de zero. Aqui:
  • a é o elemento da primeira linha e primeira coluna;
  • b é o elemento da primeira linha e segunda coluna;
  • c é o elemento da segunda linha e primeira coluna;
  • d é o elemento da segunda linha e segunda coluna.
Intuição breve do porquê: o determinante mede (entre outras interpretações) o fator de escala associado à transformação linear dada pela matriz; se \det=0 a transformação “esmaga” o plano em uma reta ou ponto e não é reversível, logo não tem inversa. Matematicamente, \det\neq0 garante que o sistema linear A x = y tem solução única para todo y, o que é equivalente à existência de A^{-1}.]

Passo 3

Calculemos o determinante de A. Identificando a=4, b=1, c=-2, d=3, temos
\det(A)=ad-bc = 4\cdot 3 - 1\cdot(-2).
Efetuando as contas:
4\cdot 3 = 12,\qquad 1\cdot(-2) = -2,
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\det(A)=12 - (-2)=12+2=14.
Como \det(A)=14\neq 0, a matriz A é invertível: a inversa existe.

Passo 4

Fórmula pronta para inversa de 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad ad-bc\neq0,
então
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação do que essa fórmula faz: trocamos a e d (os elementos na diagonal principal), mudamos o sinal de b e de c (os elementos fora da diagonal), e dividimos tudo pelo determinante. Essa fórmula pode ser obtida resolvendo as duas equações A x = e_1 e A x = e_2 (uma para cada coluna da inversa) ou usando a matriz adjunta; aqui vamos aplicar a fórmula e, em seguida, mostrar explicitamente como resolver pelas colunas para fixar.]

Passo 5

Aplicando a fórmula com a=4, b=1, c=-2, d=3 e \det(A)=14:
A^{-1}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Agora simplificamos as entradas onde possível:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{14} & -\dfrac{1}{14} \\[8pt] \dfrac{2}{14} & \dfrac{4}{14}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{14} & -\dfrac{1}{14} \\[6pt] \dfrac{1}{7} & \dfrac{2}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para você conseguir aplicar na prova mesmo sem decorar a fórmula, vou mostrar como obter a mesma inversa resolvendo dois sistemas lineares (método apenas com operações elementares). A ideia é: a primeira coluna de A^{-1} é a solução x de
A x = e_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
e a segunda coluna de A^{-1} é a solução y de
A y = e_2 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver A x = e_1\). Escrevendo \(x=(x_1,x_2)^\top\), o sistema é \[\begin{cases} 4x_1 + 1x_2 = 1,\\[4pt] -2x_1 + 3x_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação: -2x_1 + 3x_2 = 0 \Rightarrow 3x_2 = 2x_1 \Rightarrow x_2 = \dfrac{2}{3}x_1\]. Substituindo na primeira: \[4x_1 + \dfrac{2}{3}x_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad \left(4+\dfrac{2}{3}\right)x_1 = 1.\] Calcule \(4+\dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}. Então
\dfrac{14}{3}x_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \dfrac{3}{14}.
Logo
x_2 = \dfrac{2}{3}x_1 = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{14}=\dfrac{2}{14}=\dfrac{1}{7}.
Portanto a primeira coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}3/14 \\[4pt] 1/7\end{pmatrix}, concordando com a fórmula.]

Passo 8

Resolver A y = e_2\). Escrevendo \(y=(y_1,y_2)^\top\), o sistema é \[\begin{cases} 4y_1 + 1y_2 = 0,\\[4pt] -2y_1 + 3y_2 = 1. \end{cases}
Da primeira equação: y_2 = -4y_1\]. Substituindo na segunda: \[-2y_1 + 3(-4y_1) = 1 \quad\Rightarrow\quad -2y_1 -12y_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad -14y_1 = 1,\] portanto \(y_1 = -\dfrac{1}{14}. Então
y_2 = -4y_1 = -4\left(-\dfrac{1}{14}\right)=\dfrac{4}{14}=\dfrac{2}{7}.
Assim a segunda coluna de A^{-1} é \begin{pmatrix}-1/14 \\[4pt] 2/7\end{pmatrix}, novamente concordando com a fórmula.]

Passo 9

Verificação rápida multiplicando A por nossa matriz candidata A^{-1}:
A\begin{pmatrix}\dfrac{3}{14} & -\dfrac{1}{14} \\[6pt] \dfrac{1}{7} & \dfrac{2}{7}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot\dfrac{3}{14} + 1\cdot\dfrac{1}{7} & 4\cdot\left(-\dfrac{1}{14}\right) + 1\cdot\dfrac{2}{7} \\[6pt] -2\cdot\dfrac{3}{14} + 3\cdot\dfrac{1}{7} & -2\cdot\left(-\dfrac{1}{14}\right) + 3\cdot\dfrac{2}{7} \end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
4\cdot\dfrac{3}{14} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{12}{14} + \dfrac{2}{14} = \dfrac{14}{14}=1,
4\cdot\left(-\dfrac{1}{14}\right) + \dfrac{2}{7} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{4}{14} = 0,
-2\cdot\dfrac{3}{14} + 3\cdot\dfrac{1}{7} = -\dfrac{6}{14} + \dfrac{6}{14} = 0,
-2\cdot\left(-\dfrac{1}{14}\right) + 3\cdot\dfrac{2}{7} = \dfrac{2}{14} + \dfrac{6}{7} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{6}{7} = 1.
Resultado é a matriz identidade \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, confirmação final de que o cálculo está correto.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{14} & -\dfrac{1}{14} \\[6pt] \dfrac{1}{7} & \dfrac{2}{7}\end{pmatrix}]

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