Informações dadas: os quatro elementos de A são 4, 1, -2 e 3. A única pergunta é: existe A^{-1}? Se sim, encontrar A^{-1}; se não, justificar por que não existe.]
Passo 2
Regra prática para matrizes 2\times2: para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a inversa existe se, e somente se, o determinante \det=\,ad-bc for diferente de zero. Aqui:
a é o elemento da primeira linha e primeira coluna;
b é o elemento da primeira linha e segunda coluna;
c é o elemento da segunda linha e primeira coluna;
d é o elemento da segunda linha e segunda coluna.
Intuição breve do porquê: o determinante mede (entre outras interpretações) o fator de escala associado à transformação linear dada pela matriz; se \det=0 a transformação “esmaga” o plano em uma reta ou ponto e não é reversível, logo não tem inversa. Matematicamente, \det\neq0 garante que o sistema linear A x = y tem solução única para todo y, o que é equivalente à existência de A^{-1}.]
Passo 3
Calculemos o determinante de A. Identificando a=4, b=1, c=-2, d=3, temos
\det(A)=ad-bc = 4\cdot 3 - 1\cdot(-2).
Efetuando as contas:
4\cdot 3 = 12,\qquad 1\cdot(-2) = -2,
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\det(A)=12 - (-2)=12+2=14.
Como \det(A)=14\neq 0, a matriz A é invertível: a inversa existe.
Passo 4
Fórmula pronta para inversa de 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad ad-bc\neq0,
Explicação do que essa fórmula faz: trocamos a e d (os elementos na diagonal principal), mudamos o sinal de b e de c (os elementos fora da diagonal), e dividimos tudo pelo determinante. Essa fórmula pode ser obtida resolvendo as duas equações A x = e_1 e A x = e_2 (uma para cada coluna da inversa) ou usando a matriz adjunta; aqui vamos aplicar a fórmula e, em seguida, mostrar explicitamente como resolver pelas colunas para fixar.]
Passo 5
Aplicando a fórmula com a=4, b=1, c=-2, d=3 e \det(A)=14:
Para você conseguir aplicar na prova mesmo sem decorar a fórmula, vou mostrar como obter a mesma inversa resolvendo dois sistemas lineares (método apenas com operações elementares). A ideia é: a primeira coluna de A^{-1} é a solução x de
A x = e_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},
e a segunda coluna de A^{-1} é a solução y de
A y = e_2 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Resolver A x = e_1\). Escrevendo \(x=(x_1,x_2)^\top\), o sistema é
\[\begin{cases} 4x_1 + 1x_2 = 1,\\[4pt] -2x_1 + 3x_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação: -2x_1 + 3x_2 = 0 \Rightarrow 3x_2 = 2x_1 \Rightarrow x_2 = \dfrac{2}{3}x_1\].
Substituindo na primeira:
\[4x_1 + \dfrac{2}{3}x_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad \left(4+\dfrac{2}{3}\right)x_1 = 1.\]
Calcule \(4+\dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}. Então