\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão. Em V=\mathbb{R}^{2}, considere a base canônica
B=\{(1,0),(0,1)\}
e o conjunto
A=\{(2,1),(1,3)\} .
Mostre que A é base de V. Calcule as coordenadas [v]_{B} e [v]_{A} de v=(7,11). Determine as matrizes de mudança de base [I]_{B}^{A} e [I]_{A}^{B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
Dados:
  • A base canônica B=\{(1,0),(0,1)\}.
  • O conjunto A=\{(2,1),(1,3)\}.
  • O vetor v=(7,11).
Perguntas (o que devemos mostrar/calcular):
  1. Mostrar que A é base de V=\mathbb{R}^2.
  2. Calcular as coordenadas [v]_{B} (coordenadas de v na base B).
  3. Calcular as coordenadas [v]_{A} (coordenadas de v na base A).
  4. Determinar a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A}.
  5. Determinar a matriz de mudança de base [I]_{A}^{B}.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Mostrar que A\) é um conjunto linearmente independente (critério prático em \(\mathbb{R}^2\)): suponha que existam escalares \(c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\) tais que \[c_{1}(2,1)+c_{2}(1,3)=(0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada temos o sistema
\begin{cases} 2c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] c_{1}+3c_{2}=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo: multiplico a segunda equação por 2\] e subtraio a primeira. \[2(c_{1}+3c_{2})=2c_{1}+6c_{2}=0,\] subtraindo \(2c_{1}+c_{2}=0 obtemos
(2c_{1}+6c_{2})-(2c_{1}+c_{2})=5c_{2}=0 \implies c_{2}=0.
Substituindo c_{2}=0 na primeira equação dá 2c_{1}=0, logo c_{1}=0. Portanto a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, A é linearmente independente.]

Passo 3

Concluir que A é base de \mathbb{R}^2. Explicação didática: em \mathbb{R}^2 qualquer conjunto com exatamente dois vetores linearmente independentes forma uma base (porque tem o mesmo número de vetores da dimensão do espaço). Já provamos independência e A tem dois vetores, então A gera \mathbb{R}^2 e, portanto, é uma base.

Passo 4

Calcular [v]_{B}. Como B é a base canônica, as coordenadas de v=(7,11) na base B são simplesmente as componentes de v. Logo
[v]_{B}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]11\end{pmatrix}.
Explicação: a base canônica identifica diretamente as componentes do vetor com suas coordenadas.]

Passo 5

Calcular [v]_{A}\). Procuramos escalares \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha(2,1)+\beta(1,3)=(7,11).
Isto gera o sistema linear
\begin{cases} 2\alpha+\beta=7,\\[4pt] \alpha+3\beta=11. \end{cases}
Vou resolver com passos claros: multiplico a segunda equação por 2\] e subtraio a primeira (mesma técnica do Passo 2): \[2(\alpha+3\beta)=2\alpha+6\beta=22.\] Subtraindo \(2\alpha+\beta=7 obtemos
(2\alpha+6\beta)-(2\alpha+\beta)=5\beta=15 \implies \beta=3.
Substituindo \beta=3 na primeira equação:
2\alpha+3=7 \implies 2\alpha=4 \implies \alpha=2.
Portanto as coordenadas de v na base A são
[v]_{A}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Dica prática para prova: montar o sistema pelas componentes e resolver por eliminação é rápido e seguro.]

Passo 6

Construir a matriz de mudança de base [I]_{B}^{A}. Conceito: [I]_{B}^{A} é a matriz que transforma coordenadas relativas à base A em coordenadas relativas à base B. Para formar essa matriz, colocamos como colunas as coordenadas (em B) dos vetores da base A. Como B é canônica, as coordenadas de (2,1) e (1,3) em B são exatamente esses pares. Logo
[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Verificação rápida: aplicando [I]_{B}^{A} a [v]_{A}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} temos
\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot3\\[4pt]1\cdot2+3\cdot3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}7\\[4pt]11\end{pmatrix}=[v]_{B},
o que bate com o encontrado no Passo 4.]

Passo 7

Determinar [I]_{A}^{B}. Conceito: [I]_{A}^{B} é a matriz que transforma coordenadas de B em coordenadas de A; é a inversa de [I]_{B}^{A}. Calculamos a inversa de uma matriz 2\times2 com fórmula padrão: para
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
com \det(M)=ad-bc\neq0, tem-se
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aplicando isso a M=[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} obtemos o determinante
\det(M)=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5\neq0,
portanto a inversa existe e é
[I]_{A}^{B}=M^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Verificação aplicando a [v]_{B}=\begin{pmatrix}7\\\ 11\end{pmatrix}:
\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\[4pt]11\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\cdot7-1\cdot11\\[4pt]-1\cdot7+2\cdot11\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}21-11\\[4pt]-7+22\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}10\\[4pt]15\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}=[v]_{A},
confirmando consistência.]

Resposta

A é base de V.
[v]_{B}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]11\end{pmatrix}
[v]_{A}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}
[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}
[I]_{A}^{B}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados