Questão. Em
, considere a base canônica
e o conjunto
Mostre que
é base de
. Calcule as coordenadas
e
de
. Determine as matrizes de mudança de base
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
Dados:
- A base canônica
. - O conjunto
. - O vetor
.
Perguntas (o que devemos mostrar/calcular):
- Mostrar que
é base de . - Calcular as coordenadas
(coordenadas de na base ). - Calcular as coordenadas
(coordenadas de na base ). - Determinar a matriz de mudança de base
. - Determinar a matriz de mudança de base
.
Todas as informações relevantes do enunciado estão acima. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Mostrar que
Escrevendo coordenada a coordenada temos o sistema
Vou resolver esse sistema passo a passo: multiplico a segunda equação por
obtemos
Substituindo
na primeira equação dá
, logo
. Portanto a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é,
é linearmente independente.]
Passo 3
Concluir que
é base de
. Explicação didática: em
qualquer conjunto com exatamente dois vetores linearmente independentes forma uma base (porque tem o mesmo número de vetores da dimensão do espaço). Já provamos independência e
tem dois vetores, então
gera
e, portanto, é uma base.
Passo 4
Calcular
. Como
é a base canônica, as coordenadas de
na base
são simplesmente as componentes de
. Logo
Explicação: a base canônica identifica diretamente as componentes do vetor com suas coordenadas.]
Passo 5
Calcular
Isto gera o sistema linear
Vou resolver com passos claros: multiplico a segunda equação por
obtemos
Substituindo
na primeira equação:
Portanto as coordenadas de
na base
são
Dica prática para prova: montar o sistema pelas componentes e resolver por eliminação é rápido e seguro.]
Passo 6
Construir a matriz de mudança de base
. Conceito:
é a matriz que transforma coordenadas relativas à base
em coordenadas relativas à base
. Para formar essa matriz, colocamos como colunas as coordenadas (em
) dos vetores da base
. Como
é canônica, as coordenadas de
e
em
são exatamente esses pares. Logo
Verificação rápida: aplicando
a
temos
o que bate com o encontrado no Passo 4.]
Passo 7
Determinar
. Conceito:
é a matriz que transforma coordenadas de
em coordenadas de
; é a inversa de
. Calculamos a inversa de uma matriz
com fórmula padrão: para
com
, tem-se
Aplicando isso a
obtemos o determinante
portanto a inversa existe e é
Verificação aplicando a
:
confirmando consistência.]
Resposta
A é base de
.