O vetor v=(4,2,3) pertence a W ? Justifique por meio de combinação linear ou sistema linear.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço gerado pelos vetores
(1,0,1),\quad (2,1,0),\quad (3,1,2)
e pergunta se o vetor
v=(4,2,3)
pertence a esse subespaço. Ou seja: existe uma combinação linear dos três vetores indicados que resulta em v? Listei as informações relevantes: os três vetores geradores de W e o vetor v que queremos testar.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): dizer que v pertence a W significa que existem escalares \alpha,\beta,\gamma (números reais) tais que a combinação linear
\alpha(1,0,1)+\beta(2,1,0)+\gamma(3,1,2)
é igual a v. Aqui cada coordenada do vetor resultante vem da soma correspondente das coordenadas multiplicadas pelos escalares. Vou usar incógnitas mais simples: a,b,c em vez de \alpha,\beta,\gamma. Então buscamos a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a(1,0,1)+b(2,1,0)+c(3,1,2)=(4,2,3).
Passo 3
Agora escrevemos isso coordenada a coordenada: multiplicando e somando coordenadas, obtemos um sistema linear com três equações (uma por coordenada) e três incógnitas a,b,c\):
\[\begin{cases} a+2b+3c=4,\\[4pt] b+c=2,\\[4pt] a+2c=3. \end{cases}
Explicação: a primeira equação vem das primeiras coordenadas: a\cdot1 + b\cdot2 + c\cdot3 = 4\]. A segunda vem das segundas coordenadas: \(a\cdot0 + b\cdot1 + c\cdot1 = 2. A terceira vem das terceiras coordenadas: a\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot2 = 3.]
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo por substituição (método simples e rápido à prova de caneta):
Da segunda equação temos
b+c=2 \quad\Rightarrow\quad b=2-c.
Da terceira equação temos
a+2c=3 \quad\Rightarrow\quad a=3-2c.
Substituímos a e b na primeira equação:
(3-2c)+2(2-c)+3c=4.
Agora desenvolvo os termos:
3-2c +4 -2c +3c =4.
Somando constantes e coeficientes de c:
7 +(-2-2+3)c =4 \quad\Rightarrow\quad 7 - c =4.
Isolando c:
-c = -3 \quad\Rightarrow\quad c=3.
Passo 5
Com c=3 voltamos para encontrar b e a:
b=2-c = 2-3 = -1,
a=3-2c = 3-2\cdot3 = 3-6 = -3.
Verificação (sempre bom verificar à prova): calcule a combinação com esses coeficientes
Conclusão e dica para a prova: encontramos escalares a=-3, b=-1, c=3 que escrevem v como combinação linear dos vetores geradores. Isso prova que v\in W. Em provas rápidas, o caminho é sempre montar o sistema por coordenadas e usar Gauss ou substituição; aqui a substituição foi muito direta porque as equações eram simples.