1 { }^{\mathbf{a}} Questão Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 1 & -1 \\\\ 2 & -3 & 3 & -4 \\\\ -1 & 1 & -2 & 3\end{array}\right].
(a) (0.5 pts) Seja \mathbf{b}=\left[\begin{array}{lll}1 & -2 & k\end{array}\right]^{\top}. Para qual valor de k o sistema linear (S): A \mathbf{X}=\mathbf{b} possui solução?
(b) (1.0 pt) Para o valor de k encontrado em (a), encontre o subespaço afim \operatorname{Sol}(S).
(c) (1.0 pt) Seja p=\operatorname{posto}(A). Encontre uma decomposição de A como um produto A=M N em que M tem p colunas e N tem p linhas.
\mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ -2\k\end{pmatrix},
e pede:
(a) para qual k o sistema (S)\colon A\mathbf X=\mathbf b tem solução;
(b) para esse k, descrever o subespaço afim \mathrm{Sol}(S);
(c) denotar p=\mathrm{posto}(A) e achar uma fatoração A = M\,N em que M tem p colunas e N tem p linhas.
Vamos usar conceitos de posto (rank), espaço coluna, sistemas lineares e fatoração pelo pivoteamento natural das colunas.
Passo 2
Calcular o posto de A e a condição de consistência de (S).
Aplicamos operações de linha em [A\mid \mathbf b]:
Os dois primeiros pivôs mostram \mathrm{posto}(A)=2. Para haver solução, a linha zero deve ter também 0 à direita, logo k-3=0.
Passo 3
Da condição acima obtemos
k = 3.
Passo 4
Com k=3\), o sistema reduzido é
\[\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 = 1,\\\ \phantom{x_1{}}x_2 + x_3 - 2x_4 = -4. \end{cases}
Escolhemos parâmetros livres (\displaystyle s = x_3,; t = x_4].
Da segunda equação: x_2 = -4 - s + 2t.
Da primeira: x_1 = 1 + 2x_2 - s + t = 1 + 2(-4 - s + 2t) - s + t = -7 - 3s + 5t.
Logo a solução geral é \mathbf X = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\\ -4\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb R.
Assim \mathrm{Sol}(S) = \begin{pmatrix}-7\\\ -4\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + \Span\Bigl\{\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr\}.
Passo 5
Temos p=\mathrm{posto}(A)=2. Para decompor A=M\,N com M\in\mathbb R^{3\times2} e N\in\mathbb R^{2\times4}, escolhemos as colunas-pivô de A, que são as colunas 1 e 2.
Definimos