\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão Considere o operador linear T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) definido por T\left(\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)= \left[\begin{array}{cc}b & a \\\ a-b+c & -a-b-d\end{array}\right]. Também, seja \alpha a base canônica \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}.
(a) (1.0 pt) Determine a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}.
(b) (1.0 pt) Determine os autovalores de T.
(c) (0.5 pts) Exiba uma base \beta de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) tal que a matriz [T]_{\beta}^{\beta} seja diagonal (e exiba essa matriz).
(c) (1.0 pt) Para cada autovalor \lambda de T, encontre uma base para o autoespaço V_{\lambda}.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}\bigr) =\begin{bmatrix}b&a\a-b+c&-a-b-d\end{bmatrix}
e pede:
(a) a matriz de T na base canônica \alpha=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\};
(b) os autovalores de T;
(c) uma base \beta que diagonalize T e a matriz diagonal correspondente;
(d) para cada autovalor \lambda, uma base do autoespaço V_\lambda.

Passo 2

Primeiro calculamos T sobre os vetores da base canônica:
E_{11}=\begin{bmatrix}1&0\\\ 0&0\end{bmatrix}, E_{12}=\begin{bmatrix}0&1\\\ 0&0\end{bmatrix}, E_{21}=\begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix}, E_{22}=\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&1\end{bmatrix}.
  1. T(E_{11})=\begin{bmatrix}0&1\\\ 1&-1\end{bmatrix} =0E_{11}+1E_{12}+1E_{21}-1E_{22}.
  2. T(E_{12})=\begin{bmatrix}1&0\\\ -1&-1\end{bmatrix} =1E_{11}+0E_{12}-1E_{21}-1E_{22}.
  3. T(E_{21})=\begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix} =0E_{11}+0E_{12}+1E_{21}+0E_{22}.
  4. T(E_{22})=\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&-1\end{bmatrix} =0E_{11}+0E_{12}+0E_{21}-1E_{22}.
    Logo, a matriz de T em \alpha tem colunas os coeficientes acima:
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 &-1 & 1 & 0\\\\ -1&-1 & 0 &-1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar os autovalores calculamos
\det\bigl([T]_{\alpha}^{\alpha}-\lambda I\bigr) =\det\!\begin{pmatrix}-\lambda&1&0&0\\\ 1&-\lambda&0&0\\\ 1&-1&1-\lambda&0\\\ -1&-1&0&-1-\lambda\end{pmatrix}.
Fazendo o bloco em 2\times 2 superior e 2\times 2 inferior, obtém-se
\det =(\lambda^2-1)\,(\lambda^2-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)^2.
Portanto os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Agora obtemos as bases dos autoespaços:
  1. Para \lambda=1 resolvemos ([T]_{\alpha}^{\alpha}-I)x=0. Isso leva a x_2=x_1,\;x_4=-x_1,\;x_3 livre.
    Uma base é
\{(1,1,0,-1),\;(0,0,1,0)\},
que em matrizes corresponde a \displaystyle \begin{bmatrix}1&1\\\ 0&-1\end{bmatrix} e \displaystyle \begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix}.
2. Para \lambda=-1 resolvemos ([T]_{\alpha}^{\alpha}+I)x=0. Isso dá x_2=-x_1,\;x_3=-x_1,\;x_4 livre.
Uma base é
\{(1,-1,-1,0),\;(0,0,0,1)\},
que em matrizes corresponde a \displaystyle \begin{bmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{bmatrix} e \displaystyle \begin{bmatrix}0&0\\\ 0&1\end{bmatrix}.

Passo 5

Como temos 4 vetores linearmente independentes, T é diagonalizável. Tomamos a base
\beta=\Bigl\{ \begin{bmatrix}1&1\\\ 0&-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\\ 0&1\end{bmatrix} \Bigr\}
ordenada de modo a primeiro vir os vetores de \lambda=1 e depois os de \lambda=-1.
Na base \beta,
[T]_{\beta}^{\beta} =\operatorname{diag}(1,1,-1,-1).

Resposta

(a)
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 &-1 & 1 & 0\\\\ -1&-1 & 0 &-1 \end{pmatrix}.
(b) Os autovalores são \lambda=1 (mult.\ alg.\ 2) e \lambda=-1 (mult.\ alg.\ 2).
(c) Uma base que diagonaliza é
\beta=\Bigl\{ \begin{bmatrix}1&1\\\ 0&-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\\ 0&1\end{bmatrix} \Bigr\},
com
[T]_{\beta}^{\beta} =\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\ 0&1&0&0\\\ 0&0&-1&0\\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}.
(d) Bases dos autoespaços: \lambda=1: \bigl\{\begin{bmatrix}1&1\\\ 0&-1\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix}\bigr\}. \lambda=-1: \bigl\{\begin{bmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&1\end{bmatrix}\bigr\}.

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