\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão Considere o operador linear T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) definido por T\left(\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}b & a \\\ a-b+c & -a-b-d\end{array}\right]. Também, seja \alpha a base canônica \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}.
(a) (1.0 pt) Determine a matriz [T]_{\alpha}^{\alpha}.
(b) (1.0 pt) Determine os autovalores de T.
(c) (0.5 pts) Exiba uma base \beta de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) tal que a matriz [T]_{\beta}^{\beta} seja diagonal (e exiba essa matriz).
(c) (1.0 pt) Para cada autovalor \lambda de T, encontre uma base para o autoespaço V_{\lambda}.
e pede:
(a) a matriz de T na base canônica \alpha=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\};
(b) os autovalores de T;
(c) uma base \beta que diagonalize T e a matriz diagonal correspondente;
(d) para cada autovalor \lambda, uma base do autoespaço V_\lambda.
Passo 2
Primeiro calculamos T sobre os vetores da base canônica:
Portanto os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Agora obtemos as bases dos autoespaços:
Para \lambda=1 resolvemos ([T]_{\alpha}^{\alpha}-I)x=0. Isso leva a x_2=x_1,\;x_4=-x_1,\;x_3 livre.
Uma base é
\{(1,1,0,-1),\;(0,0,1,0)\},
que em matrizes corresponde a \displaystyle
\begin{bmatrix}1&1\\\ 0&-1\end{bmatrix} e \displaystyle
\begin{bmatrix}0&0\\\ 1&0\end{bmatrix}.
2. Para \lambda=-1 resolvemos ([T]_{\alpha}^{\alpha}+I)x=0. Isso dá x_2=-x_1,\;x_3=-x_1,\;x_4 livre.
Uma base é
\{(1,-1,-1,0),\;(0,0,0,1)\},
que em matrizes corresponde a \displaystyle
\begin{bmatrix}1&-1\\\ -1&0\end{bmatrix} e \displaystyle
\begin{bmatrix}0&0\\\ 0&1\end{bmatrix}.
Passo 5
Como temos 4 vetores linearmente independentes, T é diagonalizável. Tomamos a base