3^{\underline{a}} Questão Considere o sistema linear A \mathbf{X}=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ -4 \\\\ -6\end{array}\right].
(a) (0.5 pts) Mostre que as três primeiras colunas \mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \mathbf{c}_{3} de A formam uma base para o espaço de colunas \mathscr{C}(A).
(b) (1.0 pt) Encontre uma base para o complemento ortogonal \mathscr{C}(A)^{\perp}.
(c) (1.0 pt) Encontre o vetor \mathbf{b}_{0} de \mathscr{C}(A) que está mais próximo do vetor \mathbf{b}. Com base exclusivamente no seu cálculo de \mathbf{b}_{0}, decida se o sistema linear A \mathbf{X}=\mathbf{b} possui solução.
(d) ( 0.8 pts) Determine os vetores \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4} que tornam mínima a distância \|A \mathbf{x}-\mathbf{b}\|.
(e) ( 0.7 pts ) Dentre todos os vetores \mathbf{x} encontrados em (d), determine aquele que minimiza \|\mathrm{x}\|.

Passo 1

O enunciado considera o sistema linear A\mathbf X=\mathbf b, com
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -1& 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\quad \mathbf b=\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 3\\\ -4\\\ -6\end{pmatrix}.
(a) pede que mostremos que as colunas \mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3 de A são uma base de \mathscr C(A).
(b) pede uma base de \mathscr C(A)^\perp.
(c) pede a projeção \mathbf b_0 de \mathbf b em \mathscr C(A) e verificar se A\mathbf X=\mathbf b é possível.
(d) pede todos os \mathbf x\in\Bbb R^4 que minimizam \|A\mathbf x-\mathbf b\|.
(e) pede, dentre esses, o de menor norma.

Passo 2

Para (a), note que \mathbf c_1=(1,0,1,1,-1), \mathbf c_2=(0,1,1,0,1), \mathbf c_3=(1,3,1,0,2).
Suponha \alpha\mathbf c_1+\beta\mathbf c_2+\gamma\mathbf c_3=0.
Da quarta coordenada vem \alpha=0.
Da primeira coord. vem \gamma=0.
Da segunda coord. vem \beta+3\gamma=0\implies\beta=0.
Logo só a solução trivial, o que prova independência linear.
Como \mathrm{rank}(A)=3, \dim\mathscr C(A)=3 e essas 3 colunas formam uma base.

Passo 3

Para (b), \mathscr C(A)^\perp=\ker(A^T)\). Escreva \(v=(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)\) e imponha \(A^T v=0\). Das 4 equações obtém-se o sistema \[\begin{cases} v_1+v_3+v_4-v_5=0,\\\ v_2+v_3+v_5=0,\\\ v_1+3v_2+v_3+2v_5=0,\\\ v_1+4v_2+2v_3+3v_5=0. \end{cases}
Resolvendo, ficam livres s=v_3\] e \(t=v_5, e
v_1=2s+t,\quad v_2=-s-t,\quad v_4=-3s.
Assim
v=s\,(2,-1,1,-3,0)+t\,(1,-1,0,0,1),
e uma base de \mathscr C(A)^\perp é \{(2,-1,1,-3,0),\,(1,-1,0,0,1)\}.

Passo 4

Para (c), como \mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3 formam base, projete \mathbf b sobre elas. Seja B=[\mathbf c_1\,\mathbf c_2\,\mathbf c_3]. Resolvemos
B^T B\,u = B^T\mathbf b
com
B^T B=\begin{pmatrix}4&0&0\\\ 0&3&6\\\ 0&6&15\end{pmatrix},\quad B^T\mathbf b=\begin{pmatrix}8\\\ -6\\\ -15\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem u_1=2. Das outras, resolvendo em bloco, obtém-se u_2=0, u_3=-1.
Logo
\mathbf b_0 = 2\mathbf c_1 -1\mathbf c_3 = (1,\,-3,\,1,\,2,\,-4).
Como \mathbf b\neq\mathbf b_0, o sistema A\mathbf X=\mathbf b não tem solução.

Passo 5

Para (d), a norma \|A\mathbf x-\mathbf b\|\) é mínima justamente quando \(A\mathbf x=\mathbf b_0\). O sistema \(A\mathbf x=\mathbf b_0\) em incógnitas \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) é \[\begin{cases} x_1 + x_3 + x_4 =1,\\\ x_2 +3x_3+4x_4=-3,\\\ x_1 +x_2 +x_3+2x_4=1,\\\ x_1 =2,\\\\ -x_1 +x_2+2x_3+3x_4=-4. \end{cases}
Da quarta equação vem (x_1=2]. Das outras encontra-se a família
x_1=2,\quad x_2=-t,\quad x_3=-1-t,\quad x_4=t, \quad t\in\Bbb R.

Passo 6

Para (e), minimize \|\mathbf x\|^2=2^2+(-t)^2+(-1-t)^2+t^2=5+3t^2+2t.
Derivando em t: 6t+2=0\implies t=-\tfrac13.
Assim o minimizador é
\mathbf x = \Bigl(2,\;\tfrac13,\;-\tfrac23,\;-\tfrac13\Bigr).

Resposta

(a) \{\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3\} é base de \mathscr C(A).
(b) Uma base de \mathscr C(A)^\perp é \{(2,-1,1,-3,0),\,(1,-1,0,0,1)\}.
(c) \mathbf b_0=(1,-3,1,2,-4). O sistema é inconsistente.
(d) Conjunto dos mínimos: \{(2,\,-t,\,-1-t,\;t)\mid t\in\Bbb R\}.
(e) O minimizador de norma é \bigl(2,\,\tfrac13,\,-\tfrac23,\,-\tfrac13\bigr).

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