4^{\underline{a}} Questão Considere a matriz A=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & -1 \\\\ -1 & 5 & -1 \\\\ -1 & -1 & 5\end{array}\right].
(a) (1.5 pts) Encontre uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que P^{-1} A P= D.
(b) (1.0 pt) Seja \mathbf{x}=(1,-3,-4)^{\top}. A sequência de vetores A \mathbf{x}, A^{2} \mathbf{x}, \ldots, A^{k} \mathbf{x}, \ldots, converge para um certo vetor \mathbf{x}^{*}. Determine este vetor.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & -1 & -1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ -1 & -1 & 5 \end{pmatrix}
e pede em (a) uma diagonalização P^{-1}AP=D, ou seja, encontrar uma matriz invertível P cujas colunas sejam autovetores de A e a matriz diagonal D com os correspondentes autovalores. Em (b) temos o vetor \mathbf{x}=(1,-3,-4)^\top e consideramos a sequência A\mathbf{x},A^2\mathbf{x},\dots; como A tem um autovalor de módulo menor que 1, essa sequência converge para o componente de \mathbf{x} associado aos autovalores de módulo exatamente 1. Para resolver precisamos achar os autovalores e autovetores de A e depois decompor \mathbf{x} nessa base.

Passo 2

Observe que se definirmos a matriz de todas as entradas iguais a 1
J = \begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 1&1&1\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix},
então
A = \frac{1}{6} \bigl(6I - J\bigr) = I - \frac{1}{6}J.
Como J tem autovalor 3 (com autovetor (1,1,1)^\top) e autovalor 0 de multiplicidade 2 (no subespaço \{v:\sum_i v_i=0\}), deduzimos que
  • Se e=(1,1,1)^\top então Ae = e - \tfrac16\,J\,e = e - \tfrac12\,e = \tfrac12\,e, ou seja, \lambda=\tfrac12.
  • Se v satisfaz \sum_i v_i=0, então Jv=0 e Av=v, logo \lambda=1 com multiplicidade 2.

Passo 3

Escolhemos dois vetores independentes no subespaço soma zero e o vetor e. Por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},\quad e = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Então podemos montar
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -1& 1 & 1\\\\ 0 & -2& 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix},
pois Av_1=v_1, Av_2=v_2 e Ae=\tfrac12e. Verifica-se \det P\neq0, logo P é invertível e de fato P^{-1}AP=D.

Passo 4

Para a parte (b), escrevemos
\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \alpha\,e,
onde \mathbf{x}_0 tem soma zero e \alpha é escolhido para que isso ocorra. Como \sum_i x_i = 1-3-4 = -6, temos
\alpha = \frac{-6}{3} = -2,
e portanto
\mathbf{x}_0 = \mathbf{x} - \alpha\,e = \begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ -4\end{pmatrix} -(-2)\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},
que satisfaz \sum_i(\mathbf{x}_0)_i=0. Como em \mathbf{x}_0 está apenas o autovalor 1, e o modo associado a \tfrac12 (isto é, a direção e) decai como (\tfrac12)^k\to0, segue que
A^k\mathbf{x} = A^k(\mathbf{x}_0 + \alpha e) = \mathbf{x}_0 + \alpha\bigl(\tfrac12\bigr)^k e \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\; \mathbf{x}_0.

Resposta

(a) Uma diagonalização é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -1& 1 & 1\\\\ 0 & -2& 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix},
pois P^{-1}AP=D.
(b) A sequência A^k\mathbf{x} converge para
\mathbf{x}^* = \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.

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