4^{\underline{a}} Questão Considere a matriz A=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & -1 \\\\ -1 & 5 & -1 \\\\ -1 & -1 & 5\end{array}\right].
(a) (1.5 pts) Encontre uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que P^{-1} A P=D.
(b) (1.0 pt) Seja \mathbf{x}=(1,-3,-4)^{\top}. A sequência de vetores A \mathbf{x}, A^{2} \mathbf{x}, \ldots, A^{k} \mathbf{x}, \ldots, converge para um certo vetor \mathbf{x}^{*}. Determine este vetor.
e pede em (a) uma diagonalização P^{-1}AP=D, ou seja, encontrar uma matriz invertível P cujas colunas sejam autovetores de A e a matriz diagonal D com os correspondentes autovalores. Em (b) temos o vetor \mathbf{x}=(1,-3,-4)^\top e consideramos a sequência A\mathbf{x},A^2\mathbf{x},\dots; como A tem um autovalor de módulo menor que 1, essa sequência converge para o componente de \mathbf{x} associado aos autovalores de módulo exatamente 1. Para resolver precisamos achar os autovalores e autovetores de A e depois decompor \mathbf{x} nessa base.
Passo 2
Observe que se definirmos a matriz de todas as entradas iguais a 1
que satisfaz \sum_i(\mathbf{x}_0)_i=0. Como em \mathbf{x}_0 está apenas o autovalor 1, e o modo associado a \tfrac12 (isto é, a direção e) decai como (\tfrac12)^k\to0, segue que