\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão Considere o sistema linear ( S ) A \mathbf{X}=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 5 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right].
(a) (1.0 pt) Encontre o vetor do espaço de colunas \mathscr{C}(A) que está mais próximo de \mathbf{b}. Com base na sua resposta, por que se pode concluir que o sistema ( S ) não possui solução?
(b) (1.0 pt) Encontre todos os vetores \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4} que minimizam o valor de \|A \mathbf{x}-\mathbf{b}\|.
(c) (1.0 pt) Dentre os vetores \mathbf{x} encontrados em (b), determine aquele de menor norma \|\mathrm{x}\|.
(a) Para achar o vetor em \mathscr{C}(A) mais próximo de b usamos a projeção ortogonal p=P_{\mathscr{C}(A)}(b)=A\,x_{\rm ls}, onde x_{\rm ls} é a solução dos mínimos-quadrados obtida pelas equações normais
A^T A\,x = A^T b.
(b) Os minimizadores de \|Ax-b\| são todas as soluções dessa equação normal, i.e.\ x_{\rm ls}+\ker(A).
(c) O de menor norma é o caso em que o parâmetro da direção da nulidade vale zero.
Escrevemos as normais em componentes. Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\), temos
\[\begin{cases} 3x_1+3x_3+6x_4=3,\\\\ 3x_2+3x_3+6x_4=3,\\\\ 3x_1+3x_2+12x_3+18x_4=18,\\\\ 6x_1+6x_2+18x_3+30x_4=24. \end{cases}
Dividindo as duas primeiras por 3 e as duas últimas por 3 e 6, obtemos
mínima para t=0. Assim o vetor de menor norma é x_{\rm min}=(-1,-1,2,0)^T.
Resposta
(a) \displaystyle p=(4,1,3,2)^T é o vetor em \mathscr C(A) mais próximo de b. Como p\neq b, o sistema não admite solução.
(b) Os minimizadores de \|Ax-b\| são