\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão Considere o sistema linear ( S ) A \mathbf{X}=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 1\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 5 \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right].
(a) (1.0 pt) Encontre o vetor do espaço de colunas \mathscr{C}(A) que está mais próximo de \mathbf{b}. Com base na sua resposta, por que se pode concluir que o sistema ( S ) não possui solução?
(b) (1.0 pt) Encontre todos os vetores \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4} que minimizam o valor de \|A \mathbf{x}-\mathbf{b}\|.
(c) (1.0 pt) Dentre os vetores \mathbf{x} encontrados em (b), determine aquele de menor norma \|\mathrm{x}\|.

Passo 1

O enunciado dá o sistema (S)\colon A x = b com
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 1 & 2\\\\ -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}.
(a) Para achar o vetor em \mathscr{C}(A) mais próximo de b usamos a projeção ortogonal p=P_{\mathscr{C}(A)}(b)=A\,x_{\rm ls}, onde x_{\rm ls} é a solução dos mínimos-quadrados obtida pelas equações normais
A^T A\,x = A^T b.
(b) Os minimizadores de \|Ax-b\| são todas as soluções dessa equação normal, i.e.\ x_{\rm ls}+\ker(A).
(c) O de menor norma é o caso em que o parâmetro da direção da nulidade vale zero.

Passo 2

Calcular A^T A e A^T b.
A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & 6\\\\ 0 & 3 & 3 & 6\\\\ 3 & 3 &12 &18\\\\ 6 & 6 &18 &30 \end{pmatrix},\quad A^T b = \begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 18\\\ 24\end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevemos as normais em componentes. Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\), temos \[\begin{cases} 3x_1+3x_3+6x_4=3,\\\\ 3x_2+3x_3+6x_4=3,\\\\ 3x_1+3x_2+12x_3+18x_4=18,\\\\ 6x_1+6x_2+18x_3+30x_4=24. \end{cases}
Dividindo as duas primeiras por 3 e as duas últimas por 3 e 6, obtemos
\begin{cases} x_1+x_3+2x_4=1,\\\ x_2+x_3+2x_4=1,\\\ x_1+x_2+4x_3+6x_4=6,\\\ x_1+x_2+3x_3+5x_4=4. \end{cases}
Subtraindo as duas primeiras da terceira (ou da quarta) resulta
x_3+x_4=2,
e então
x_3=2-x_4,\quad x_1= -1-x_4,\quad x_2= -1-x_4.
Logo a família de soluções dos mínimos-quadrados é
x(t)=\begin{pmatrix}-1-t\\\ -1-t\\\ 2-t\t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb R,
onde (x_{\rm ls}=(-1,-1,2,0)^T] é um particular.

Passo 4

O vetor em \mathscr C(A) mais próximo de b é
p = A\,x_{\rm ls} = A\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} = -c_1 - c_2 + 2c_3 =\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix},
com c_j colunas de A.

Passo 5

Como p\neq b, concluímos que b\notin\mathscr C(A) e portanto (S) não tem solução exata.

Passo 6

Entre os x(t) anteriores, a norma ao quadrado é
\|x(t)\|^2 =(-1-t)^2+(-1-t)^2+(2-t)^2+t^2 =6+4t^2,
mínima para t=0. Assim o vetor de menor norma é x_{\rm min}=(-1,-1,2,0)^T.

Resposta

(a) \displaystyle p=(4,1,3,2)^T é o vetor em \mathscr C(A) mais próximo de b. Como p\neq b, o sistema não admite solução.
(b) Os minimizadores de \|Ax-b\| são
\Bigl\{\,(-1-t,\,-1-t,\;2-t,\;t)^T\;\bigm|\;t\in\mathbb R\Bigr\}.
(c) Dentre eles, o de menor norma é \displaystyle(-1,-1,2,0)^T.

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