2^{\underline{\mathbf{a}}} Questão Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique.
(1.0 pt) Existem exatamente duas escolhas para o vetor \mathbf{x}=\left[\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array}\right]^{\top} que tornam a seguinte matriz ortogonal: A=\left[\begin{array}{ccc}1 / \sqrt{3} & 1 / \sqrt{2} & x_{1} \\\\ 1 / \sqrt{3} & 0 & x_{2} \\\\ 1 / \sqrt{3} & -1 / \sqrt{2} & x_{3}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para julgar se há exatamente duas escolhas para o vetor \mathbf{x} = [\,x_{1}\;x_{2}\;x_{3}\,]^{\top} que tornam a matriz
A = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} & x_{1}\\\\ 1/\sqrt{3} & 0 & x_{2}\\\\ 1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2}& x_{3} \end{pmatrix}
ortogonal. Para isso, precisamos usar que as colunas de uma matriz ortogonal formam um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Denotemos
\mathbf{a}_{1} = \begin{pmatrix}1/\sqrt{3}\\\ 1/\sqrt{3}\\\ 1/\sqrt{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf{a}_{2} = \begin{pmatrix}1/\sqrt{2}\\\ 0\\\ -1/\sqrt{2}\end{pmatrix},\quad \mathbf{a}_{3} = \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix}.
Para que A seja ortogonal, devemos ter
\mathbf{a}_{1}\cdot\mathbf{a}_{3} = 0,\quad \mathbf{a}_{2}\cdot\mathbf{a}_{3} = 0,\quad \|\mathbf{a}_{3}\| = 1.

Passo 3

Calculemos primeiro as duas condições de ortogonalidade linear:
\mathbf{a}_{2}\cdot\mathbf{a}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,x_{1} + 0\cdot x_{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\,x_{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = x_{1}.
\mathbf{a}_{1}\cdot\mathbf{a}_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} + x_{2} + x_{1} = 0 \;\Longrightarrow\; x_{2} = -2\,x_{1}.

Passo 4

Impondo \|\mathbf{a}_{3}\|^{2}=1, temos
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = x_{1}^{2} + (-2x_{1})^{2} + x_{1}^{2} = 6\,x_{1}^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}.
Assim
\mathbf{x} = \pm \begin{pmatrix} 1/\sqrt{6}\\\\ -2/\sqrt{6}\\\\ 1/\sqrt{6} \end{pmatrix},
ou seja, há exatamente duas soluções.

Resposta

Verdadeira.

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