2^{\underline{\mathbf{a}}} Questão Julgue verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo. Justifique.
(1.0 pt) Sejam S: V \rightarrow W uma transformação linear e \alpha e \beta bases de V e W, respectivamente, tais que [S]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 9 & 10 & 11 & 12\end{array}\right]. Se v é um vetor de V tal que [v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]^{\top}, então [S(v)]_{\beta}=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 9\end{array}\right]^{\top}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear S\colon V\to W e as bases \alpha de V e \beta de W. A matriz de S nessas bases é
[S]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}
e o vetor v\in V tem coordenadas em \alpha
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1\\\\ 0\\\\ -1\\\\ 1 \end{pmatrix}.
A afirmação é que [S(v)]_{\beta}=\begin{pmatrix}2\\\ 6\\\ 9\end{pmatrix}.
Para verificar, vamos usar multiplicação de matrizes.

Passo 2

Sabemos que, em representação de coordenadas, vale a regra
[S(v)]_{\beta} = [S]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}.
Ou seja, basta multiplicar a matriz de S pelo vetor de coordenadas de v.

Passo 3

Calculemos
[S(v)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\\\ 0\\\\ -1\\\\ 1 \end{pmatrix}.
Cada componente é
\begin{aligned} \text{1ª linha: }&1\cdot1 + 2\cdot0 + 3\cdot(-1) + 4\cdot1 = 1 -3 +4 = 2,\\\ \text{2ª linha: }&5\cdot1 + 6\cdot0 + 7\cdot(-1) + 8\cdot1 = 5 -7 +8 = 6,\\\ \text{3ª linha: }&9\cdot1 + 10\cdot0 + 11\cdot(-1) + 12\cdot1 = 9 -11 +12 = 10. \end{aligned}ªªª
Logo
[S(v)]_{\beta} = \begin{pmatrix} 2\\\\ 6\\\\ 10 \end{pmatrix}.

Passo 4

Acontece que o cálculo exato deu \bigl(2,6,10\bigr)^{\!\top}, e não \bigl(2,6,9\bigr)^{\!\top}. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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