(2.0 Pontos) Sejam u=x^{2}-2 x+1, v=x+2, w=2 x^{2}-x e p=5 x^{2}-5 x+7 polinômios em \mathcal{P}_{2}. Escreva o polinômio p como combinação linear de u, v e w. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece os polinômios \,u=x^{2}-2x+1, \,v=x+2, \,w=2x^{2}-x e \,p=5x^{2}-5x+7 em \mathcal{P}_{2}.
Queremos escrever p como combinação linear de u,v,w, isto é, encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w = p.
O conteúdo aqui é representação de um polinômio em uma base de \mathcal{P}_{2}, usando a igualdade de coeficientes.
Agrupando termos semelhantes em x^{2}, x e constante, temos:
– coeficiente de x^{2}: \alpha+2\gamma
– coeficiente de x: -2\alpha+\beta-\gamma
– termo constante: \alpha+2\beta
Passo 3
Igualamos esses coeficientes aos de p=5x^{2}-5x+7, gerando o sistema