(2.0 Pontos) Sejam u=x^{2}-2 x+1, v=x+2, w=2 x^{2}-x e p=5 x^{2}-5 x+7 polinômios em \mathcal{P}_{2}. Escreva o polinômio p como combinação linear de u, v e w. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece os polinômios \,u=x^{2}-2x+1, \,v=x+2, \,w=2x^{2}-x e \,p=5x^{2}-5x+7 em \mathcal{P}_{2}.
Queremos escrever p como combinação linear de u,v,w, isto é, encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w = p.
O conteúdo aqui é representação de um polinômio em uma base de \mathcal{P}_{2}, usando a igualdade de coeficientes.

Passo 2

Assumimos
\alpha\,(x^{2}-2x+1)+\beta\,(x+2)+\gamma\,(2x^{2}-x)=5x^{2}-5x+7.
Expandindo o lado esquerdo obtemos
\alpha x^{2}-2\alpha x+\alpha+\beta x+2\beta+2\gamma x^{2}-\gamma x.
Agrupando termos semelhantes em x^{2}, x e constante, temos:
– coeficiente de x^{2}: \alpha+2\gamma
– coeficiente de x: -2\alpha+\beta-\gamma
– termo constante: \alpha+2\beta

Passo 3

Igualamos esses coeficientes aos de p=5x^{2}-5x+7, gerando o sistema
\begin{cases} \alpha+2\gamma = 5,\\\\ -2\alpha+\beta-\gamma = -5,\\\ \alpha+2\beta = 7. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem \alpha=5-2\gamma. Substituindo na segunda:
-2(5-2\gamma)+\beta-\gamma=-5 \quad\Longrightarrow\quad \beta+3\gamma=5 \quad\Longrightarrow\quad \beta=5-3\gamma.
Na terceira:
(5-2\gamma)+2(5-3\gamma)=7 \quad\Longrightarrow\quad 15-8\gamma=7 \quad\Longrightarrow\quad \gamma=1.
Logo \beta=5-3=2 e \alpha=5-2=3.

Passo 5

Concluímos que
p = 3\,u + 2\,v + 1\,w.
Como \{u,v,w\} é uma base de \mathcal{P}_{2}, essa expressão é única, o que justifica a solução.

Resposta

p = 3u + 2v + w

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