\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão (3,0) Dados os planos \boldsymbol{\alpha}: \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}-1=0 e \beta: \begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} x=1-t-p \\ y=1+t+p \\ & ] z=1-t-2 p \end{array}\right.} .\end{aligned}
Encontre a equação simétrica da reta r definida pelos planos \alpha \mathrm{e} \beta.

Passo 1

O enunciado pede a equação simétrica da reta r que é a interseção dos planos \alpha: x - 2y + z - 1 = 0
e \beta dado em forma paramétrica
\begin{cases} x = 1 - t - p\\\ y = 1 + t + p\\\ z = 1 - t - 2p \end{cases}
O conteúdo é geometria analítica 3D: interseção de planos e obtenção da reta como solução comum.

Passo 2

Para achar a equação cartesiana de \beta, extraímos dois vetores diretores a partir dos parâmetros t e p:
\mathbf{v}_t = \bigl(-1,\,1,\,-1\bigr),\quad \mathbf{v}_p = \bigl(-1,\,1,\,-2\bigr).
O vetor normal de \beta é o produto vetorial
\mathbf{n}_\beta = \mathbf{v}_t \times \mathbf{v}_p = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1,\,-1,\,0).
Como um ponto de \beta é (1,1,1) (caso t=0,p=0), sua equação cartesiana é
(-1,-1,0)\cdot(x-1,y-1,z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad -x+1 -y+1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y - 2 = 0.

Passo 3

O vetor normal de \alpha é
\mathbf{n}_\alpha = (1,\,-2,\,1).
A direção da reta r é o produto vetorial
\mathbf{d} = \mathbf{n}_\alpha \times \mathbf{n}_\beta = (1,-2,1)\times(-1,-1,0) = (-1,\,1,\,3).

Passo 4

Para encontrar um ponto P_0\) em \(r\), resolvemos o sistema \[\begin{cases} x + y - 2 = 0,\\\ x - 2y + z - 1 = 0. \end{cases}
Escolhendo y=0\] dá \(x=2 e então 2 - 0 + z - 1=0 implica z=-1. Logo
P_0 = (2,\,0,\,-1).

Passo 5

A parametrização da reta é
(x,y,z) = (2,0,-1) + \lambda\,(-1,1,3).
Daí a forma simétrica fica
\frac{x-2}{-1} \;=\;\frac{y-0}{1}\;=\;\frac{z+1}{3}.

Resposta

\frac{x-2}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3}.

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