(2.0 Pontos) Verifique se o conjunto de matrizes abaixo é L. I. ou L. D.
\left\{\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\\\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2 \\\\ -2 & 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{lll} -1 & 0 & 5 \\\\ -1 & 0 & 3 \end{array}\right]\right\}
Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de matrizes
A_1 = \begin{pmatrix}-1 & 2 & 1 \\\ 3 & -2 & 4\end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix}0 & -1 & 2 \\\ -2 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 5 \\\ -1 & 0 & 3\end{pmatrix}
é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear, buscando escalares c_1,c_2,c_3 tais que
c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 = 0.
Se a única solução for c_1=c_2=c_3=0, o conjunto é L.I.; caso contrário, é L.D.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando à matriz zero, obtemos o sistema de seis equações (uma para cada entrada):
\begin{cases} -\,c_1 \;+\;0\cdot c_2\;-\;c_3 = 0,\\\\ 2\,c_1\;-\;c_2\;+\;0\cdot c_3 = 0,\\\ c_1\;+\;2\,c_2\;+\;5\,c_3 = 0,\\\\ 3\,c_1\;-\;2\,c_2\;-\;c_3 = 0,\\\\ -2\,c_1\;+\;c_2\;+\;0\cdot c_3 = 0,\\\\ 4\,c_1\;+\;0\cdot c_2\;+\;3\,c_3 = 0. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações:
-\,c_1 - c_3 = 0 \implies c_1 = -c_3, \quad 2\,c_1 - c_2 = 0 \implies c_2 = 2c_1 = -2c_3.
Substituindo em qualquer uma das equações do meio, todas se satisfazem identicamente, restando a última:
4c_1 + 3c_3 = 0 \implies 4(-c_3) + 3c_3 = -c_3 = 0 \implies c_3 = 0.
Logo c_3=0, e então c_1 = -c_3 = 0 e c_2 = -2c_3 = 0.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (L.I.), pois a única solução da combinação homogênea é c_1=c_2=c_3=0.

Exercícios relacionados