Resolva as seguintes integrais indefinidas, e verifique sua resposta derivando a função encontrada.
\frac{1}{2+x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{2+x}\,dx. O conteúdo é integração de função racional simples, que resulta em logaritmo natural via substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
\displaystyle u = x + 2.
Dessa forma, o diferencial é
\displaystyle du = dx.
Repare que x+2 no denominador vira u.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{1}{x+2}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C, concluímos
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x por u = x+2, a primitiva geral é
F(x) = \ln\lvert x + 2\rvert + C.

Passo 6

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert x+2\rvert + C\bigr) = \frac{1}{x + 2},
que reconduz exatamente ao integrando original.

Resposta

\int \frac{1}{2+x}\,dx = \ln\lvert x + 2\rvert + C.

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