\mathbf{2}^{\text {a }} Questão: Encontre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-3 x+5}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}-3x+5}{2x+3}.
O conteúdo aqui é limite de função racional em que o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (1). Vamos usar a dominância de termos de maior grau.

Passo 2

Para evidenciar a dominância de x para x\to-\infty, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{x^{3}-3x+5}{2x+3} =\frac{x\bigl(x^{2}-3+\tfrac{5}{x}\bigr)}{x\bigl(2+\tfrac{3}{x}\bigr)} =\frac{x^{2}-3+\tfrac{5}{x}}{2+\tfrac{3}{x}}.

Passo 3

Agora, escrevemos
\frac{x^{2}-3+\tfrac{5}{x}}{2+\tfrac{3}{x}} =x^{2}\,\frac{1-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{5}{x^{3}}}{2+\tfrac{3}{x}}.
À medida que x\to-\infty, os termos \tfrac{3}{x^{2}}, \tfrac{5}{x^{3}} e \tfrac{3}{x} vão a zero, de modo que o quociente dentro da fração tende a \tfrac{1}{2}. Assim,

Passo 4

x^{2}\,\frac{1-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{5}{x^{3}}}{2+\tfrac{3}{x}} \;\longrightarrow\; x^{2}\cdot\frac{1}{2} \quad\text{quando }x\to -\infty.
Como x^{2}\to+\infty mesmo para x\to-\infty, concluímos que o produto cresce sem limite.

Resposta

\displaystyle +\infty

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