\mathbf{2}^{\underline{\mathbf{a}}} Questão. Seja V o espaço vetorial das funções reais f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. O subconjunto
W=\{f \in V \mid f(0)=0 \text { e } f(2)=0\}
é um subespaço de V ? Justifique todas as etapas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Dado o espaço vetorial V das funções reais f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • Definido o subconjunto
W=\{f\in V \mid f(0)=0 \text{ e } f(2)=0\}.
  • Pergunta: W é um subespaço de V? (É preciso justificar todas as etapas.)

Passo 2

Vou lembrar a condição que precisamos verificar para que um subconjunto U de um espaço vetorial V seja subespaço: é suficiente provar três coisas (esta é uma forma padrão e fácil de aplicar).
  1. O vetor zero de V pertence a U.
  2. U é fechado sob soma: se u_1,u_2\in U então u_1+u_2\in U.
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in U e c\in\mathbb{R} então c\,u\in U.
Vou aplicar essas três verificações ao conjunto W. Explico também o que é o vetor zero no espaço V que temos: é a função zero, que vou denotar por 0_V, definida por
0_V(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Verificação 1 — o vetor zero está em W.
A função 0_V satisfaz
0_V(0)=0 \quad\text{e}\quad 0_V(2)=0.
Como W é o conjunto das funções que valem 0 em 0 e em 2, segue que 0_V\in W. Portanto a primeira condição está OK.

Passo 4

Verificação 2 — fechamento por soma.
Sejam f e g funções arbitrárias em W. Isso significa, por definição de W, que
f(0)=0,\quad f(2)=0,\quad g(0)=0,\quad g(2)=0.
A soma f+g é a função dada por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para todo x. Avaliando em x=0 e x=2 obtemos:
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0,
(f+g)(2)=f(2)+g(2)=0+0=0.
Logo (f+g) também satisfaz as duas condições e, portanto, f+g\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificação 3 — fechamento por multiplicação por escalar.
Tome f\in W e c\in\mathbb{R}. A função c\,f é definida por (c\,f)(x)=c\cdot f(x). Avaliando em x=0 e x=2:
(c\,f)(0)=c\cdot f(0)=c\cdot 0=0,
(c\,f)(2)=c\cdot f(2)=c\cdot 0=0.
Portanto c\,f também pertence a W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão final da verificação. Mostramos que 0_V\in W, que W é fechado sob soma e que W é fechado sob multiplicação por escalar. Essas três propriedades implicam que W é um subespaço do espaço vetorial V. (Se quiser, uma observação extra: esses passos nada mais são do que verificar que qualquer combinação linear arbitrária a f + b g com f,g\in W e a,b\in\mathbb{R} permanece em W, pois as condições em 0 e 2 são preservadas por soma e multiplicação por escalar.)

Resposta

Sim, W é subespaço de V.

Exercícios relacionados