\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão ( \mathbf{2 , 0} pontos): Seja \boldsymbol{r}(t) uma função vetorial, faça o que se pede:
Sabendo que \boldsymbol{r}(t)=e^{2 t} \boldsymbol{i}+\sin (\pi t) \boldsymbol{J}+t \cos (t) \boldsymbol{k}, calcule \int \boldsymbol{r}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função vetorial \boldsymbol{r}(t)=e^{2t}\,\mathbf{i}+\sin(\pi t)\,\mathbf{j}+t\cos(t)\,\mathbf{k}.
O conteúdo usado será a integração componente a componente:
  • Para e^{2t} usamos a regra de exponencial.
  • Para \sin(\pi t) usamos a primitiva de seno com mudança de variável.
  • Para t\cos(t) usamos o método de integração por partes.

Passo 2

Integramos a primeira componente
\int e^{2t}\,dt.
Como \frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}, temos
\int e^{2t}\,dt = \frac{1}{2}e^{2t}.

Passo 3

Integramos a segunda componente
\int \sin(\pi t)\,dt.
Com a substituição u=\pi t, du=\pi\,dt, obtém-se
\int \sin(\pi t)\,dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t).

Passo 4

Integramos a terceira componente por partes. Seja
\int t\cos(t)\,dt.
Escolhemos u = t e dv = \cos(t)\,dt, então du=dt e v=\sin(t). Logo,
\int t\cos(t)\,dt = t\sin(t) - \int \sin(t)\,dt = t\sin(t) + \cos(t).

Passo 5

Juntando as três componentes e adicionando a constante de integração vetorial \mathbf{C}=C_{1}\mathbf{i}+C_{2}\mathbf{j}+C_{3}\mathbf{k}, obtemos
\int \boldsymbol{r}(t)\,dt = \Bigl(\tfrac12 e^{2t}\Bigr)\mathbf{i} -\Bigl(\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi t)\Bigr)\mathbf{j} +\bigl(t\sin(t)+\cos(t)\bigr)\mathbf{k} +\mathbf{C}.

Resposta

\int \boldsymbol{r}(t)\,dt = \frac{1}{2}e^{2t}\,\mathbf{i} -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\,\mathbf{j} +\bigl(t\sin(t)+\cos(t)\bigr)\,\mathbf{k} +\mathbf{C}.

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