4^{\mathrm{a}} Questão ( 4,0 pontos): Dada a função f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
a) Determine f_{x}(x, y), f_{y}(x, y), f_{x x}(x, y), f_{x y}(x, y)
b) Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto (3,4).
c) Determine a taxa de variação de f(x, y) em P=(1,2) na direção v=(2,-1).
d) Determine os valores máximos, mínimos e pontos de sela de f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e pede:
  • (a) as derivadas parciais primeiras e segundas,
  • (b) o plano tangente em (3,4),
  • (c) a taxa de variação em P=(1,2) na direção v=(2,-1),
  • (d) os pontos críticos e classificação (máximos, mínimos e sela).
    Vamos usar conceitos de derivada parcial, plano tangente, derivada direcional e classificação por gradiente/Hessiano.

Passo 2

(a) Cálculo de f_{x}, f_{y}, f_{xx} e f_{xy}.
Primeiro definimos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Então
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}r =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{x}{r},
f_{y}(x,y) =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{y}{r}.
Agora as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr) =\frac{r - \frac{x\cdot x}{r}}{r^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},
f_{xy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{r}\Bigr) =-\frac{x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 3

(b) Plano tangente em (3,4).
Aqui z_{0}=f(3,4)=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5. As derivadas em (3,4) são
f_{x}(3,4)=\frac{3}{5}, \quad f_{y}(3,4)=\frac{4}{5}.
A fórmula do plano tangente é
z =f_{x}(3,4)\,(x-3)+f_{y}(3,4)\,(y-4)+5,
isto é
z =\frac{3}{5}(x-3)+\frac{4}{5}(y-4)+5.

Passo 4

(c) Taxa de variação em P=(1,2) na direção v=(2,-1).
Primeiro \|v\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}, e o vetor unitário é
u=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr).
Em P temos r=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}, logo
f_{x}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad f_{y}(1,2)=\frac{2}{\sqrt{5}}.
A derivada direcional é
D_{u}f(1,2) =f_{x}(1,2)\,\frac{2}{\sqrt{5}} +f_{y}(1,2)\,\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} +\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) =0.

Passo 5

(d) Pontos críticos e classificação.
O gradiente
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{x}{r},\frac{y}{r}\Bigr)
é zero só se x=0 e y=0, mas aí f não é diferenciável em (0,0). Mesmo assim, geometricamente (0,0) é o único ponto em que f atinge mínimo global f(0,0)=0.
Não há valor máximo pois f\to\infty quando \|(x,y)\|\to\infty.
Não existem pontos de sela.

Resposta

(a)
f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \quad f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
f_{xx}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}, \quad f_{xy}(x,y)=-\frac{x\,y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
(b)
z=\frac{3}{5}(x-3)+\frac{4}{5}(y-4)+5.
(c)
D_{v}f(1,2)=0.
(d)
Mínimo global f(0,0)=0 em (0,0).
Sem máximo e sem pontos de sela.

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