Questão ( 4,0 pontos): Dada a função
a) Determine
b) Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
c) Determine a taxa de variação de
em
na direção
.
d) Determine os valores máximos, mínimos e pontos de sela de
.
a) Determine
b) Determine a equação do plano tangente à superfície
c) Determine a taxa de variação de
d) Determine os valores máximos, mínimos e pontos de sela de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- (a) as derivadas parciais primeiras e segundas,
- (b) o plano tangente em
, - (c) a taxa de variação em
na direção , - (d) os pontos críticos e classificação (máximos, mínimos e sela).
Vamos usar conceitos de derivada parcial, plano tangente, derivada direcional e classificação por gradiente/Hessiano.
Passo 2
(a) Cálculo de
,
,
e
.
Primeiro definimos .
Então
Primeiro definimos
Então
Agora as segundas derivadas:
Passo 3
(b) Plano tangente em
.
Aqui . As derivadas em
são
Aqui
A fórmula do plano tangente é
isto é
Passo 4
(c) Taxa de variação em
na direção
.
Primeiro , e o vetor unitário é
Primeiro
Em
temos
, logo
A derivada direcional é
Passo 5
(d) Pontos críticos e classificação.
O gradiente
O gradiente
é zero só se
e
, mas aí
não é diferenciável em
. Mesmo assim, geometricamente
é o único ponto em que
atinge mínimo global
.
Não há valor máximo pois quando
.
Não existem pontos de sela.
Não há valor máximo pois
Não existem pontos de sela.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
Mínimo global em
.
Sem máximo e sem pontos de sela.
Mínimo global
Sem máximo e sem pontos de sela.