\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão (3,0 pontos): Resolva as Equações Diferenciais ordinárias
2 y^{\prime \prime}+4 y+4=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes
2\,y'' + 4\,y + 4 = 0.
O conteúdo é EDO linear não homogênea de 2ª ordem. Para resolver, vamos primeiro obter a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo todos os termos por 2:
y'' + 2\,y + 2 = 0.
Assim reconhecemos a parte homogênea
y'' + 2\,y = 0
e o termo não homogêneo constante -2.

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea associado através da equação característica
r^2 + 2 = 0.
As raízes são
r = \pm i\sqrt{2}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = A\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + B\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 4

Procuramos uma solução particular y_p constante, digamos y_p = C. Como y_p''=0, substituindo em
y'' + 2\,y + 2 = 0
vem
0 + 2\,C + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Portanto
y_p(x) = -1.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = A\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + B\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) - 1.

Resposta

y(x) = A\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + B\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) - 1,
com A e B constantes arbitrárias.

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