3^{\mathrm{a}} Questão ( \mathbf{2 , 0} pontos): Calcule os limites abaixo ou mostre que o limite não existe. Caso o limite exista mostre ainda se a função é contínua ou não no ponto do cálculo do limite. Justifique adequadamente sua resposta.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y} \text {, onde } x \neq y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2 - y^2}{x - y},\quad x\neq y,
o que envolve fatoração de diferença de quadrados em funções de duas variáveis. Depois devemos verificar se a função
f(x,y)=\frac{x^2 - y^2}{x - y},\;x\neq y
é contínua em (1,1).

Passo 2

Note que, para x\neq y, a diferença de quadrados fatoriza assim:
x^2 - y^2 = (x-y)(x+y).
Então
\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x + y.

Passo 3

Como para todos os pontos com x\neq y vale f(x,y)=x+y, ao fazer (x,y)\to(1,1) temos
\lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(1,1)}(x+y) = 1 + 1 = 2.

Passo 4

A continuidade de f em (1,1) exige que f esteja definida em (1,1) e que \lim_{(x,y)\to(1,1)}f(x,y)=f(1,1).
Aqui, f não está definida em (1,1) (pois exige x\neq y), logo f não é contínua em (1,1).
Se definíssemos f(1,1)=2, obteríamos uma extensão contínua.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2 - y^2}{x - y} = 2,
e a função original não é contínua em (1,1) por não estar definida nesse ponto.

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