\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: Sendo u=(3,5,0) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências:
\left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=\sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \\ u=(3,5,0) e pede para "determinar os vetores \\ v_{1} e \\ v_{2} que cumprem as seguintes exigências: \left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=\sqrt{2}".\n
Informações dadas:
\\ u=(3,5,0).\n
O que é pedido:
determinar vetores \\ v_{1} e \\ v_{2} tais que \left\|v_{1}\right\|=\sqrt{2} e \left\|v_{2}\right\|=\sqrt{2}.\n

Passo 2

Primeiro, o que significa \left\|v\right\| para um vetor no espaço? Se \\ v=(x,y,z), a norma (comprimento) é definida por
\left\|v\right\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Isto vem do teorema de Pitágoras estendido para 3 dimensões: soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.

Passo 3

Aplicando a definição à condição pedida, qualquer vetor \\ v=(x,y,z) que satisfaça \left\|v\right\|=\sqrt{2} deve obedecer à equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=2.
Geometricamente, o conjunto de todos esses vetores é a esfera de raio \sqrt{2} centrada na origem. Isso mostra já uma coisa importante: existem infinitos vetores com norma \sqrt{2}. Ou seja, a condição dada por si só não determina um único vetor — determina uma família inteira.

Passo 4

Uma forma prática de parametrizar essas soluções é usar coordenadas esféricas: escrevendo o raio r=\sqrt{2}, podemos pôr
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,
com 0\le\varphi\le\pi e 0\le\theta<2\pi. Escolhendo qualquer par (\varphi,\theta) obtemos um vetor com norma \sqrt{2}. Isso é útil quando queremos a descrição geral.

Passo 5

Como a condição não fixa vetores únicos, uma abordagem prática para a prova é apresentar exemplos simples e bem escolhidos. Uma escolha muito simples é forçar uma das componentes a zero; por exemplo, tomar z=0 reduz a equação a
x^{2}+y^{2}=2.
Escolhendo x=1 e y=1 temos
(1)^{2}+(1)^{2}=1+1=2,
portanto o vetor
v_{1}=(1,1,0)
tem norma \sqrt{2}. Calculemos explicitamente:
\left\|v_{1}\right\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 6

Para escolher \\ v_{2} podemos pegar outro ponto da circunferência x^{2}+y^{2}=2 com z=0. Uma escolha simétrica e conveniente é x=1, y=-1, isto é
v_{2}=(1,-1,0).
Verificação:
\left\|v_{2}\right\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.
Observação útil: \\ v_{1}\cdot v_{2}=1\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot0=0, logo estes dois exemplos são ortogonais — mas a ortogonalidade não foi exigida no enunciado; é apenas uma propriedade agradável desses exemplos.

Passo 7

Uma observação importante ligada ao vetor dado \\ u=(3,5,0): se a intenção fosse decompor \\ u como soma \\ u=v_{1}+v_{2} com \left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=\sqrt{2}, isso seria impossível, porque a desigualdade triangular dá
\left\|u\right\| \le \left\|v_{1}\right\|+\left\|v_{2}\right\|=2\sqrt{2}.
Mas \left\|u\right\|=\sqrt{3^{2}+5^{2}+0^{2}}=\sqrt{34}\approx5{,}83, e 2\sqrt{2}\approx2{,}828, portanto \sqrt{34}>2\sqrt{2} e não existe tal decomposição. Só menciono isto para evitar que você tente adivinhar uma condição não dada no enunciado.

Resposta

\displaystyle v_{1}=(1,1,0)\n
\displaystyle v_{2}=(1,-1,0)

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