Questão: Sendo
um vetor no espaço, determine os vetores
e
que cumprem as seguintes exigências:
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para "determinar os vetores
e
que cumprem as seguintes exigências:
".\n
Informações dadas:
.\n
O que é pedido:
determinar vetores e
tais que
e
.\n
Informações dadas:
O que é pedido:
determinar vetores
Passo 2
Primeiro, o que significa
para um vetor no espaço? Se
, a norma (comprimento) é definida por
Isto vem do teorema de Pitágoras estendido para 3 dimensões: soma dos quadrados das componentes e raiz quadrada.
Passo 3
Aplicando a definição à condição pedida, qualquer vetor
que satisfaça
deve obedecer à equação
Geometricamente, o conjunto de todos esses vetores é a esfera de raio
centrada na origem. Isso mostra já uma coisa importante: existem infinitos vetores com norma
. Ou seja, a condição dada por si só não determina um único vetor — determina uma família inteira.
Passo 4
Uma forma prática de parametrizar essas soluções é usar coordenadas esféricas: escrevendo o raio
, podemos pôr
com
e
. Escolhendo qualquer par
obtemos um vetor com norma
. Isso é útil quando queremos a descrição geral.
Passo 5
Como a condição não fixa vetores únicos, uma abordagem prática para a prova é apresentar exemplos simples e bem escolhidos. Uma escolha muito simples é forçar uma das componentes a zero; por exemplo, tomar
reduz a equação a
Escolhendo
e
temos
portanto o vetor
tem norma
. Calculemos explicitamente:
Passo 6
Para escolher
podemos pegar outro ponto da circunferência
com
. Uma escolha simétrica e conveniente é
,
, isto é
Verificação:
Observação útil:
, logo estes dois exemplos são ortogonais — mas a ortogonalidade não foi exigida no enunciado; é apenas uma propriedade agradável desses exemplos.
Passo 7
Uma observação importante ligada ao vetor dado
: se a intenção fosse decompor
como soma
com
, isso seria impossível, porque a desigualdade triangular dá
Mas
, e
, portanto
e não existe tal decomposição. Só menciono isto para evitar que você tente adivinhar uma condição não dada no enunciado.