Questão: Sendo u=(0,4,2) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências:
\left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=7.

Passo 1

O enunciado (completando a condição que normalmente acompanha esse tipo de questão) nos dá o vetor u=(0,4,2) e pede para determinar vetores v_{1} e v_{2} que satisfaçam as seguintes exigências:
v_{1}+v_{2}=u
\left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=7
Informações relevantes dadas:
  • u=(0,4,2).
  • Ambos os vetores v_{1} e v_{2} têm norma 7.
  • Eles somam para u.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando dois vetores têm a mesma norma e somam para u, o ponto médio entre eles é exatamente u/2. Isso sugere escrever
v_{1}=\frac{u}{2}+t,\qquad v_{2}=\frac{u}{2}-t
onde t é um vetor qualquer. Essa escrita garante automaticamente v_{1}+v_{2}=u. Agora só falta impor a condição das normas iguais e iguais a 7. Vou explicar passo a passo como usar isso para achar t.

Passo 3

Usando a escrita acima calculemos as normas ao quadrado (isso facilita as contas porque elimina raízes). Para v_{1}:
\|v_{1}\|^{2}=\left\|\frac{u}{2}+t\right\|^{2}=\left\|\frac{u}{2}\right\|^{2}+2\left(\frac{u}{2}\cdot t\right)+\|t\|^{2}.
Para v_{2}:
\|v_{2}\|^{2}=\left\|\frac{u}{2}-t\right\|^{2}=\left\|\frac{u}{2}\right\|^{2}-2\left(\frac{u}{2}\cdot t\right)+\|t\|^{2}.
Como queremos \|v_{1}\|=\|v_{2}\|, então \|v_{1}\|^{2}=\|v_{2}\|^{2}. Subtraindo as duas expressões obtemos
4\left(\frac{u}{2}\cdot t\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad u\cdot t=0.
Ou seja: t deve ser ortogonal a u. Esse é um passo importante: igualar normas implica que o vetor de diferença t é perpendicular a u.

Passo 4

Agora impomos a norma numérica: \|v_{1}\|=7. Usando \left\|\frac{u}{2}+t\right\|^{2}=\left\|\frac{u}{2}\right\|^{2}+\|t\|^{2} (porque u\cdot t=0), temos
49=\|v_{1}\|^{2}=\left\|\frac{u}{2}\right\|^{2}+\|t\|^{2}.
Calculamos \left\|\frac{u}{2}\right\|^{2}. Primeiro \|u\|^{2}=0^{2}+4^{2}+2^{2}=16+4=20, então
\left\|\frac{u}{2}\right\|^{2}=\frac{\|u\|^{2}}{4}=\frac{20}{4}=5.
Portanto
\|t\|^{2}=49-5=44,\qquad \|t\|=\sqrt{44}=2\sqrt{11}.

Passo 5

Precisamos achar explicitamente um vetor t=(a,b,c) tal que u\cdot t=0 e \|t\|^{2}=44. A condição de ortogonalidade é
u\cdot t = 0\cdot a + 4b + 2c = 4b+2c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c=-2b.
Substituindo em \|t\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=44 obtemos
a^{2}+b^{2}+(-2b)^{2}=a^{2}+b^{2}+4b^{2}=a^{2}+5b^{2}=44.
Agora escolhemos valores para b que facilitem a conta. Se tomarmos b=2, então
a^{2}+5\cdot 2^{2}=a^{2}+20=44 \quad\Rightarrow\quad a^{2}=24 \quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt{6}.
Com b=2 temos c=-2b=-4. Assim um vetor t que satisfaz as condições é
t=\bigl(2\sqrt{6},\,2,\,-4\bigr).
Verificações rápidas: ortogonalidade u\cdot t=4\cdot 2 + 2\cdot(-4)=8-8=0. Norma ao quadrado =(2\sqrt{6})^{2}+2^{2}+(-4)^{2}=24+4+16=44, certo.

Passo 6

Calculemos agora v_{1} e v_{2} usando v_{1}=\frac{u}{2}+t e v_{2}=\frac{u}{2}-t. Primeiro
\frac{u}{2}=\left(0,\;2,\;1\right).
Somando com t:
v_{1}=\left(0,\;2,\;1\right)+\left(2\sqrt{6},\;2,\;-4\right)=\left(2\sqrt{6},\;4,\;-3\right).
Subtraindo:
v_{2}=\left(0,\;2,\;1\right)-\left(2\sqrt{6},\;2,\;-4\right)=\left(-2\sqrt{6},\;0,\;5\right).
Façamos as verificações finais (para você confiar no resultado):
  • Soma: v_{1}+v_{2}=\bigl(2\sqrt{6}-2\sqrt{6},\;4+0,\;-3+5\bigr)=(0,4,2)=u.
  • Normas: \|v_{1}\|^{2}=(2\sqrt{6})^{2}+4^{2}+(-3)^{2}=24+16+9=49\Rightarrow\|v_{1}\|=7. \|v_{2}\|^{2}=(-2\sqrt{6})^{2}+0^{2}+5^{2}=24+0+25=49\Rightarrow\|v_{2}\|=7.

Passo 7

Comentário didático final (curto e amigo): existe, na verdade, uma infinidade de pares (v_{1},v_{2}) que satisfazem as condições porque qualquer vetor t ortogonal a u com norma 2\sqrt{11} serve. Eu escolhi um t com componentes simples para obter respostas explícitas e fáceis de checar. Vai dar tudo certo na prova — só lembrar da ideia do ponto médio e da ortogonalidade!

Resposta

\displaystyle v_{1}=\bigl(2\sqrt{6},\,4,\,-3\bigr)
\displaystyle v_{2}=\bigl(-2\sqrt{6},\,0,\,5\bigr)

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