Questão: Sendo u=(0,4,2) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências: \left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=7.
Passo 1
O enunciado (completando a condição que normalmente acompanha esse tipo de questão) nos dá o vetor u=(0,4,2) e pede para determinar vetores v_{1} e v_{2} que satisfaçam as seguintes exigências:
v_{1}+v_{2}=u
\left\|v_{1}\right\|=\left\|v_{2}\right\|=7
Informações relevantes dadas:
u=(0,4,2).
Ambos os vetores v_{1} e v_{2} têm norma 7.
Eles somam para u.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando dois vetores têm a mesma norma e somam para u, o ponto médio entre eles é exatamente u/2. Isso sugere escrever
v_{1}=\frac{u}{2}+t,\qquad v_{2}=\frac{u}{2}-t
onde t é um vetor qualquer. Essa escrita garante automaticamente v_{1}+v_{2}=u. Agora só falta impor a condição das normas iguais e iguais a 7. Vou explicar passo a passo como usar isso para achar t.
Passo 3
Usando a escrita acima calculemos as normas ao quadrado (isso facilita as contas porque elimina raízes). Para v_{1}:
Comentário didático final (curto e amigo): existe, na verdade, uma infinidade de pares (v_{1},v_{2}) que satisfazem as condições porque qualquer vetor t ortogonal a u com norma 2\sqrt{11} serve. Eu escolhi um t com componentes simples para obter respostas explícitas e fáceis de checar. Vai dar tudo certo na prova — só lembrar da ideia do ponto médio e da ortogonalidade!