\mathbf{2}^{\mathbf{2 1}} Questão: Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido Obtido pela região limitada por \mathrm{y}=2 \mathrm{x}-\mathrm{x}^{2} e \mathrm{y}=\mathrm{x} em torno da reta \mathrm{x}=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=1, a região limitada pelas curvas
y = 2x - x^2
e
y = x.
O método das cascas cilíndricas diz que, para fatias verticais em x, o volume é
V = \int_{a}^{b} 2\pi \,( \text{raio} )\,(\text{altura})\,dx.
Precisamos então: (i) achar os limites a,b pela interseção das curvas; (ii) determinar raio e altura de cada casca; (iii) montar e calcular o integral.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
2x - x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0
logo x=0 e x=1. Para x\in[0,1], tem-se
2x - x^2 \ge x,
ou seja, a parábola está acima da reta.

Passo 3

Para cada casca em x\in[0,1]:
– O raio é a distância horizontal até x=1:
r = 1 - x.
– A altura é a diferença entre a função superior e a inferior:
h = (2x - x^2) - x = x - x^2.

Passo 4

Substituindo em V = \displaystyle\int_{0}^{1}2\pi\,r\,h\,dx, obtemos
V = 2\pi \int_{0}^{1}(1 - x)(x - x^2)\,dx.
Expandindo o integrando:
(1 - x)(x - x^2) = x - 2x^2 + x^3.

Passo 5

Calculamos o integral:
\int_{0}^{1}(x - 2x^2 + x^3)\,dx = \left[\tfrac12x^2 - \tfrac23x^3 + \tfrac14x^4\right]_{0}^{1} = \tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14 = \tfrac{1}{12}.
Logo
V = 2\pi \cdot \tfrac{1}{12} = \tfrac{\pi}{6}.

Resposta

V = \frac{\pi}{6}.

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