Questão: Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, explicando o critério que você utilizou.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n+1}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\sqrt{n}}
é convergente ou divergente. Vamos usar critérios de comparação e o conceito de séries p.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral:
\frac{n+1}{n\sqrt{n}} = \frac{n}{n\sqrt{n}} + \frac{1}{n\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Examinamos a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}.
Trata-se de uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, logo ela converge.

Passo 4

Examinamos a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}.
Aqui p=\tfrac12\le1, logo é uma série p divergente.

Passo 5

Como a série original se escreve como soma de duas séries em que uma delas diverge, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\sqrt{n}}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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