1 ^{\text {In }} Questão: A região limitada pela curva \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1 e pela reta \mathrm{y}=-\mathrm{x}+3 gira em tomo do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido

Passo 1

O enunciado diz que a região do plano limitada pelas curvas
y = x^2 + 1
e
y = -\,x + 3
é girada em torno do eixo x para formar um sólido.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis) para volumes de revolução, em que vamos precisar:
1. encontrar os pontos de interseção dessas curvas;
2. identificar qual é a função superior e qual é a inferior em cada ponto;
3. montar a integral
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl\{[\,\text{superior}\,]^2 - [\,\text{inferior}\,]^2\bigr\}\,dx.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas funções:
x^2 + 1 = -\,x + 3
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
Logo, as interseções ocorrem em x = -2 e x = 1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima entre x=-2 e x=1. Escolhendo, por exemplo, x=0:
y_{\text{parábola}}(0) = 0^2 + 1 = 1, \quad y_{\text{reta}}(0) = -0 + 3 = 3.á
Portanto, para todo x\in[-2,1], tem-se
y_{\text{superior}} = -\,x + 3, \quad y_{\text{inferior}} = x^2 + 1.

Passo 4

Usando o método dos anéis, o volume é
V = \pi \int_{-2}^{1} \Bigl[(-x + 3)^2 - (x^2 + 1)^2\Bigr] \,dx.

Passo 5

Expandimos os quadrados:
(-x + 3)^2 = x^2 - 6x + 9, \quad (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1.
Logo o integrando fica
(x^2 - 6x + 9) - (x^4 + 2x^2 + 1) = -\,x^4 - x^2 - 6x + 8.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \bigl(-x^4 - x^2 - 6x + 8\bigr)\,dx = -\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x.
Avaliando de -2 a 1:
\Bigl[-\tfrac{x^5}{5} - \tfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x\Bigr]_{-2}^{1} = \Bigl(-\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{3} - 3 + 8\Bigr) - \Bigl(\tfrac{32}{5} + \tfrac{8}{3} - 12 - 16\Bigr).
Calculando separadamente:
-\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{3} - 3 + 8 = \frac{67}{15}, \quad \tfrac{32}{5} + \tfrac{8}{3} - 28 = -\,\frac{284}{15}.
Então a diferença é
\frac{67}{15} - \bigl(-\tfrac{284}{15}\bigr) = \frac{351}{15} = \frac{117}{5}.

Passo 7

Multiplicando por \pi, obtemos o volume final:
V = \pi \times \frac{117}{5} = \frac{117\pi}{5}.

Resposta

V = \frac{117\pi}{5}.

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