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Questão: A região limitada pela curva
e pela reta
gira em tomo do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido
Passo 1
O enunciado diz que a região do plano limitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
para formar um sólido.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis) para volumes de revolução, em que vamos precisar:
. encontrar os pontos de interseção dessas curvas;
. identificar qual é a função superior e qual é a inferior em cada ponto;
. montar a integral
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis) para volumes de revolução, em que vamos precisar:
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos as duas funções:
Logo, as interseções ocorrem em
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima entre
e
. Escolhendo, por exemplo,
:
Portanto, para todo
, tem-se
Passo 4
Usando o método dos anéis, o volume é
Passo 5
Expandimos os quadrados:
Logo o integrando fica
Passo 6
Integramos termo a termo:
Avaliando de
a
:
Calculando separadamente:
Então a diferença é
Passo 7
Multiplicando por
, obtemos o volume final: