Questão: Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, explicando o critério que você utilizou.
\sum_{1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-1}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries alternadas (critérios de Leibniz) e teste de convergência absoluta (comparação com séries p).

Passo 2

Observação importante: para n=1 o termo \tfrac{(-1)^1}{\sqrt{1}-1} é indefinido, pois \sqrt{1}-1=0. Portanto reescrevemos a série a partir de n=2:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-1}.

Passo 3

Note que os termos são da forma
a_{n}=(-1)^{n}b_{n}, \quad b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}-1}.
Como (-1)^{n} alterna de sinal, podemos aplicar o critério de Leibniz para séries alternadas, que exige:
1. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.
2. (b_{n}) é monótona decrescente a partir de certo n.

Passo 4

Calculamos o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}-1} =0,
pois \sqrt{n}\to\infty.

Passo 5

Para ver que b_{n} é decrescente em n\ge2, considere a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1},\quad x>1.
Sua derivada é
f'(x) =-\frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}}<0,
logo f é decrescente em x>1 e, em particular, b_{n+1}<b_{n} para todo n\ge2.

Passo 6

Como \lim_{n\to\infty}b_{n}=0 e (b_{n}) é decrescente, pelo critério de Leibniz a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}b_{n}
converge.

Passo 7

Para verificar convergência absoluta, examinamos
\sum_{n=2}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}-1}.
Para n grande, \tfrac{1}{\sqrt{n}-1}\sim\tfrac{1}{\sqrt{n}}, e a série \sum 1/\sqrt{n} é um p-série com p=\tfrac12\le1, logo diverge. Pelo teste de comparação, \sum|a_{n}| diverge, ou seja, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e diverge em valor absoluto.

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