Questão: Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, explicando o critério que você utilizou. \sum_{1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-1}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries alternadas (critérios de Leibniz) e teste de convergência absoluta (comparação com séries p).
Passo 2
Observação importante: para n=1 o termo \tfrac{(-1)^1}{\sqrt{1}-1} é indefinido, pois \sqrt{1}-1=0. Portanto reescrevemos a série a partir de n=2:
Como (-1)^{n} alterna de sinal, podemos aplicar o critério de Leibniz para séries alternadas, que exige: 1. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. 2. (b_{n}) é monótona decrescente a partir de certo n.
Para n grande, \tfrac{1}{\sqrt{n}-1}\sim\tfrac{1}{\sqrt{n}}, e a série \sum 1/\sqrt{n} é um p-série com p=\tfrac12\le1, logo diverge. Pelo teste de comparação, \sum|a_{n}| diverge, ou seja, não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e diverge em valor absoluto.