Questão: Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, explicando o critério que você utilizou.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^{n^2}}
converge ou diverge, justificando o critério usado. O conteúdo principal é teste de convergência de séries, e vamos aplicar o critério da razão (teste de d’Alembert), que compara o termo a_{n+1} com a_n.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{n!}{e^{n^2}}.
O critério da razão diz que analisamos
\frac{a_{n+1}}{a_n}
para ver se seu limite é menor que 1, maior que 1 ou igual a 1.

Passo 3

Calculando a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{e^{(n+1)^2}} \,\Bigl/\, \frac{n!}{e^{n^2}} = (n+1)\,e^{\,n^2 - (n+1)^2} = (n+1)\,e^{-2n-1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}(n+1)\,e^{-2n-1} =0,
pois a função exponencial decai muito mais rápido que o fator polinomial n+1.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1,
o critério da razão garante que a série \sum a_n converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{e^{n^2}} é convergente pelo critério da razão (d’Alembert).

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