Questão (valor
ponto) Usando as propriedades de limites, determine os seguintes limites, se existirem:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, que por definição principal é não negativa para todo onde está definida. - O limite é quando
tende a (ou seja, é grande em módulo e negativo). - Trata-se de uma razão entre uma expressão que cresce como
e um polinômio linear em .
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: expressar a raiz em função de
. Lembre que
, portanto podemos escrever
Explicação: fatorou-se
dentro da raiz:
. A razão por usar
é que
sempre.
Passo 3
Agora use o fato de que estamos fazendo
, ou seja,
é negativo e grande em módulo. Para
vale
. Substituindo na expressão original obtemos, para
suficientemente negativo,
Comentário: isso é uma identidade válida para todos os
, com atenção ao sinal de
; aqui a condição
garante
.
Passo 4
Para simplificar o limite, divida numerador e denominador por
(note que
quando
, então não há mudança de sinal ao dividir). Fazendo a divisão obtemos
Explicação do passo: dividir ambos os termos do denominador por
dá
. No numerador o
cancela.
Passo 5
Agora aplique propriedades de limites e a continuidade da função raiz: à medida que
temos
e
. Como a função
é contínua em
, o numerador tende a
e o denominador tende a
. Ou seja,
Passo 6
Com os limites do numerador e do denominador conhecidos, a regra do quociente de limites (quando o limite do denominador é diferente de zero) permite concluir que o limite da razão existe e é a razão dos limites obtidos anteriormente.