\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Usando as propriedades de limites, determine os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-3}}{5-2 x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-3}}{5-2x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-3}, que por definição principal é não negativa para todo x onde está definida.
  • O limite é quando x tende a -\infty (ou seja, x é grande em módulo e negativo).
  • Trata-se de uma razão entre uma expressão que cresce como \sqrt{x^{2}} e um polinômio linear em x.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: expressar a raiz em função de |x|. Lembre que |x|=\sqrt{x^{2}}, portanto podemos escrever
\sqrt{x^{2}-3}=|x|\sqrt{1-\frac{3}{x^{2}}}.
Explicação: fatorou-se x^{2} dentro da raiz: \sqrt{x^{2}-3}=\sqrt{x^{2}\left(1-\dfrac{3}{x^{2}}\right)}=|x|\sqrt{1-\dfrac{3}{x^{2}}}. A razão por usar |x| é que \sqrt{x^{2}}=|x| sempre.

Passo 3

Agora use o fato de que estamos fazendo x\to -\infty, ou seja, x é negativo e grande em módulo. Para x<0 vale |x|=-x. Substituindo na expressão original obtemos, para x suficientemente negativo,
\frac{\sqrt{x^{2}-3}}{5-2x}=\frac{-x\sqrt{1-\dfrac{3}{x^{2}}}}{5-2x}.
Comentário: isso é uma identidade válida para todos os x\neq 0, com atenção ao sinal de |x|; aqui a condição x\to -\infty garante |x|=-x.

Passo 4

Para simplificar o limite, divida numerador e denominador por -x (note que -x>0 quando x\to -\infty, então não há mudança de sinal ao dividir). Fazendo a divisão obtemos
\frac{-x\sqrt{1-\dfrac{3}{x^{2}}}}{5-2x} = \frac{\sqrt{1-\dfrac{3}{x^{2}}}}{-\dfrac{5}{x}+2}.
Explicação do passo: dividir ambos os termos do denominador por -x \dfrac{5}{-x}+\dfrac{-2x}{-x}=-\dfrac{5}{x}+2. No numerador o -x cancela.

Passo 5

Agora aplique propriedades de limites e a continuidade da função raiz: à medida que x\to -\infty temos \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{5}{x}\to 0. Como a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=1, o numerador tende a \sqrt{1-0}= \;1 e o denominador tende a -0+2= \;2. Ou seja,
\lim_{x\to -\infty}\sqrt{1-\dfrac{3}{x^{2}}}=1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\left(-\dfrac{5}{x}+2\right)=2.

Passo 6

Com os limites do numerador e do denominador conhecidos, a regra do quociente de limites (quando o limite do denominador é diferente de zero) permite concluir que o limite da razão existe e é a razão dos limites obtidos anteriormente.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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