Se
é um subconjunto finito de um espaço
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz: seja
um subconjunto finito de um espaço
. A tarefa é mostrar que
.
Informações dadas: é finito e está contido em
. O que se pede: provar que o conjunto das pontos de acumulação (conjunto derivado) de
, denotado por
, é o conjunto vazio.
Informações dadas:
Passo 2
Definição (essencial para entender o que vamos provar). Um ponto
é ponto de acumulação de
(isto é,
) se e somente se toda vizinhança aberta de
contém pelo menos um ponto de
diferente de
. Vou usar essa definição explicitamente a seguir. (Se você não lembra bem, pense: não importa quão pequeno seja o raio ao redor de
, sempre aparece algum ponto de
distinto de
.)
Passo 3
Vou trabalhar no contexto de espaço métrico
(isto é, existe uma distância
em
). Esta hipótese é a forma mais direta e comum desse enunciado; a prova usa bolas abertas
. A ideia geral é: como
tem número finito de pontos, consigo escolher uma bola ao redor de qualquer
que não contenha pontos de
além, no máximo, de
próprio. Assim, nenhum
satisfaz a definição de ponto de acumulação.
Passo 4
Escrevemos os elementos de
explicitamente: suponha
com
. Queremos mostrar que para qualquer
existe uma vizinhança aberta de
que não contém nenhum ponto de
distinto de
. Isso prova que
. Como
era arbitrário, segue que
.
Passo 5
Caso 1:
. Para cada
definimos
. Como
temos
para todo
. Sendo um conjunto finito de números positivos, existe o mínimo positivo
Então considere a bola aberta
. Se algum
pertencesse a
teríamos
, o que contradiz a definição de
(pois
). Logo nenhum
está em
. Portanto existe uma vizinhança de
que não contém pontos de
, e assim
.
Passo 6
Caso 2:
. Suponha
para algum
. Se
(ou seja,
), então qualquer bola pequena em torno de
não contém outros pontos de
(porque não há outros), então
. Se
, considere as distâncias entre
e os demais pontos:
Cada
(porque são pontos distintos) e há apenas um número finito deles, então
Novamente a bola
não contém nenhum
com
, pois se algum
estivesse nela teríamos
, contradizendo a minimalidade de
. Assim existe uma vizinhança de
que não contém pontos de
diferentes de
, logo
.
Passo 7
Dos dois casos (quando
e quando
) vimos que
. Como
era arbitrário em
, concluímos que nenhum ponto de
é ponto de acumulação de
. Portanto
.
Passo 8
Comentário final e encorajamento: a chave da prova é usar que
é finito para garantir que um mínimo de um conjunto finito de distâncias seja positivo — assim podemos escolher uma bola pequena que afasta todos os pontos de
. Em espaços que não são métricos a afirmação pode falhar sem hipóteses adicionais; aqui fizemos a prova no contexto métrico, que é o caso mais frequente em exercícios como este. Você conseguiu — faltou só lembrar de usar o mínimo das distâncias!