Se \mathbf{A} é um subconjunto finito de um espaço \mathbf{M}, mostre que \mathbf{A}^{\prime}=\emptyset.

Passo 1

O enunciado diz: seja \mathbf{A} um subconjunto finito de um espaço \mathbf{M}. A tarefa é mostrar que \mathbf{A}^{\prime}=\emptyset.
Informações dadas: \mathbf{A} é finito e está contido em \mathbf{M}. O que se pede: provar que o conjunto das pontos de acumulação (conjunto derivado) de \mathbf{A}, denotado por \mathbf{A}^{\prime}, é o conjunto vazio.

Passo 2

Definição (essencial para entender o que vamos provar). Um ponto x\in\mathbf{M} é ponto de acumulação de \mathbf{A} (isto é, x\in\mathbf{A}^{\prime}) se e somente se toda vizinhança aberta de x contém pelo menos um ponto de \mathbf{A} diferente de x. Vou usar essa definição explicitamente a seguir. (Se você não lembra bem, pense: não importa quão pequeno seja o raio ao redor de x, sempre aparece algum ponto de \mathbf{A} distinto de x.)

Passo 3

Vou trabalhar no contexto de espaço métrico \mathbf{M} (isto é, existe uma distância d(\cdot,\cdot) em \mathbf{M}). Esta hipótese é a forma mais direta e comum desse enunciado; a prova usa bolas abertas B(x,r)=\{y\in\mathbf{M}:d(x,y)<r\}. A ideia geral é: como \mathbf{A} tem número finito de pontos, consigo escolher uma bola ao redor de qualquer x que não contenha pontos de \mathbf{A} além, no máximo, de x próprio. Assim, nenhum x satisfaz a definição de ponto de acumulação.

Passo 4

Escrevemos os elementos de \mathbf{A} explicitamente: suponha \mathbf{A}=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\} com n\in\mathbb{N}. Queremos mostrar que para qualquer x\in\mathbf{M} existe uma vizinhança aberta de x que não contém nenhum ponto de \mathbf{A} distinto de x. Isso prova que x\notin\mathbf{A}^{\prime}. Como x era arbitrário, segue que \mathbf{A}^{\prime}=\emptyset.

Passo 5

Caso 1: x\notin\mathbf{A}. Para cada i\in\{1,\dots,n\} definimos d_{i}=d(x,a_{i}). Como x\neq a_{i} temos d_{i}>0 para todo i. Sendo um conjunto finito de números positivos, existe o mínimo positivo
d=\min\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\}>0.
Então considere a bola aberta B\bigl(x,\tfrac{d}{2}\bigr). Se algum a_{i} pertencesse a B\bigl(x,\tfrac{d}{2}\bigr) teríamos d(x,a_{i})<\tfrac{d}{2}, o que contradiz a definição de d (pois d\le d(x,a_{i})). Logo nenhum a_{i} está em B\bigl(x,\tfrac{d}{2}\bigr). Portanto existe uma vizinhança de x que não contém pontos de \mathbf{A}, e assim x\notin\mathbf{A}^{\prime}.

Passo 6

Caso 2: x\in\mathbf{A}. Suponha x=a_{k} para algum k. Se \mathbf{A}=\{a_{k}\} (ou seja, n=1), então qualquer bola pequena em torno de a_{k} não contém outros pontos de \mathbf{A} (porque não há outros), então a_{k}\notin\mathbf{A}^{\prime}. Se n\ge 2, considere as distâncias entre a_{k} e os demais pontos:
d_{j}=d(a_{k},a_{j})\quad\text{para }j\neq k.
Cada d_{j}>0 (porque são pontos distintos) e há apenas um número finito deles, então
d=\min_{j\neq k} d_{j}>0.
Novamente a bola B\bigl(a_{k},\tfrac{d}{2}\bigr) não contém nenhum a_{j} com j\neq k, pois se algum a_{j} estivesse nela teríamos d(a_{k},a_{j})<\tfrac{d}{2}, contradizendo a minimalidade de d. Assim existe uma vizinhança de a_{k} que não contém pontos de \mathbf{A} diferentes de a_{k}, logo a_{k}\notin\mathbf{A}^{\prime}.

Passo 7

Dos dois casos (quando x\notin\mathbf{A} e quando x\in\mathbf{A}) vimos que x\notin\mathbf{A}^{\prime}. Como x era arbitrário em \mathbf{M}, concluímos que nenhum ponto de \mathbf{M} é ponto de acumulação de \mathbf{A}. Portanto \mathbf{A}^{\prime}=\emptyset.

Passo 8

Comentário final e encorajamento: a chave da prova é usar que \mathbf{A} é finito para garantir que um mínimo de um conjunto finito de distâncias seja positivo — assim podemos escolher uma bola pequena que afasta todos os pontos de \mathbf{A}. Em espaços que não são métricos a afirmação pode falhar sem hipóteses adicionais; aqui fizemos a prova no contexto métrico, que é o caso mais frequente em exercícios como este. Você conseguiu — faltou só lembrar de usar o mínimo das distâncias!

Resposta

\mathbf{A}^{\prime}=\emptyset

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