\mathbf{1}^{\text {a }} ) Considere a função f(x)=\mathbf{3} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{x}). Estime o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson e o chute inicial x=1. Como critério de parada, estabelece-se que |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}, onde x[n] é a estimativa da raiz no passo n.

Solução:

\mathrm{f}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}-\cos (\mathrm{x}) \rightarrow \mathrm{g}(\mathrm{x})=f^{\prime}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}+\sin (\mathrm{x})
Chute inicial: x[0]=1
Critério de parada: |x[n]-x[n-1]|<1 E-05

Passo #1

\mathrm{x}[1]=\mathrm{x}[0]-\mathrm{f}(1.0000000000 \mathrm{E}+00) / \mathrm{g}(1.0000000000 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[1]=1.0000000000 \mathrm{E}+00-(2.4596976941 \mathrm{E}+00) /(6.8414709848 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[1]=6.4047239262 \mathrm{E}-01
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[1]-\mathrm{x}[0]|=3.5952760738 \mathrm{E}-01 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #2

\mathrm{x}[2]=\mathrm{x}[1]-\mathrm{f}(6.4047239262 \mathrm{E}-01) / \mathrm{g}(6.4047239262 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[2]=6.4047239262 \mathrm{E}-01-(4.2880109944 \mathrm{E}-01) /(4.4404086345 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[2]=5.4390445603 \mathrm{E}-01
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[2]-\mathrm{x}[1]|=9.6567936587 \mathrm{E}-02 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #3

\mathrm{x}[3]=\mathrm{x}[2]-\mathrm{f}(5.4390445603 \mathrm{E}-01) / \mathrm{g}(5.4390445603 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[3]=5.4390445603 \mathrm{E}-01-(3.1801444565 \mathrm{E}-02) /(3.7809076862 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[3]=5.3549339520 \mathrm{E}-01
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[3]-\mathrm{x}[2]|=8.4110608362 \mathrm{E}-03 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #4

\mathrm{x}[4]=\mathrm{x}[3]-\mathrm{f}(5.3549339520 \mathrm{E}-01) / \mathrm{g}(5.3549339520 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[4]=5.3549339520 \mathrm{E}-01-(2.4255744138 \mathrm{E}-04) /(3.7232258009 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[4]=5.3542824808 \mathrm{E}-01
Verificação do Critério de parada: |\mathrm{x}[4]-\mathrm{x}[3]|=6.5147120896 \mathrm{E}-05 \geq 1.00 \mathrm{E}-05

Passo #5

\mathrm{x}[5]=\mathrm{x}[4]-\mathrm{f}(5.3542824808 \mathrm{E}-01) / \mathrm{g}(5.3542824808 \mathrm{E}-01)
\mathrm{x}[5]=5.3542824808 \mathrm{E}-01-(1.4557484773 \mathrm{E}-08) /(3.7227788895 \mathrm{E}+00)
\mathrm{x}[5]=5.3542824416 \mathrm{E}-01
Verificação do Critério de parada: |\mathbf{x}[\mathbf{5}]-\mathbf{x}[\mathbf{4}]|=\mathbf{3 . 9 1 0 3 8 1 2 4 1 0 E - 0 9}<\mathbf{1 . 0 0 E - 0 5}
O zero da função f(x) é, aproximadamente, x=5.3542824416 \mathrm{E}-01.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o zero da função \displaystyle f(x)=3x^{2}-\cos(x) usando o método de Newton–Raphson com chute inicial \displaystyle x[0]=1.
Dados fornecidos:
\text{função: } f(x)=3x^{2}-\cos(x)çã
\text{chute inicial: } x[0]=1
\text{critério de parada: } |x[n]-x[n-1]|<10^{-5}é
A tarefa final é a estimativa da raiz (o valor de x que faz f(x)=0) obedecendo ao critério acima.

Passo 2

Apresento a ideia e a fórmula do método de Newton–Raphson (explicação didática).
A ideia é aproximar a função por sua reta tangente em x_n e usar a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}. A equação da reta tangente a f em x_n é
y = f(x_n) + f'(x_n)\,(x-x_n).
A interseção com o eixo x ocorre quando y=0. Resolver 0=f(x_n)+f'(x_n)\,(x-x_n) para x dá a fórmula iterativa
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • \displaystyle x_n é a aproximação atual;
  • \displaystyle x_{n+1} é a nova aproximação;
  • \displaystyle f'(x_n) é a derivada de f avaliada em x_n, que representa a inclinação da tangente.

Passo 3

Calculo a derivada de f e mostro como avaliar f e f'.
Derivando f(x)=3x^{2}-\cos(x) obtemos
f'(x)=6x+\sin(x).
Explicação breve: a derivada de 3x^{2} é 6x (regra do poder) e a derivada de -\cos(x) é +\sin(x) (derivada do cosseno com sinal negativo).
Agora vamos aplicar a fórmula iterativa começando de \displaystyle x[0]=1.

Passo 4

Iteração 1 ( n=0 \to n=1): calcular f(1), f'(1) e x[1].
f(1)=3(1)^{2}-\cos(1)=3-\cos(1)\approx 2{,}4596976941
f'(1)=6(1)+\sin(1)=6+\sin(1)\approx 6{,}8414709848
Aplicando Newton:
x[1]=1-\frac{2{,}4596976941}{6{,}8414709848}\approx 0{,}64047239262.
Verificação do critério:
|x[1]-x[0]|=|0{,}64047239262-1|=0{,}35952760738\ge 10^{-5},
portanto não paramos ainda.

Passo 5

Iteração 2 ( n=1 \to n=2): calcular f(x[1]), f'(x[1]) e x[2].
f(0{,}64047239262)\approx 0{,}42880109944
f'(0{,}64047239262)\approx 4{,}4404086345
Aplicando Newton:
x[2]=0{,}64047239262-\frac{0{,}42880109944}{4{,}4404086345}\approx 0{,}54390445603.
Verificação do critério:
|x[2]-x[1]|=|0{,}54390445603-0{,}64047239262|=0{,}096567936587\ge 10^{-5}.

Passo 6

Iteração 3 ( n=2 \to n=3): calcular f(x[2]), f'(x[2]) e x[3].
f(0{,}54390445603)\approx 0{,}031801444565
f'(0{,}54390445603)\approx 3{,}7809076862
Aplicando Newton:
x[3]=0{,}54390445603-\frac{0{,}031801444565}{3{,}7809076862}\approx 0{,}53549339520.
Verificação do critério:
|x[3]-x[2]|=|0{,}53549339520-0{,}54390445603|=0{,}008411060362\ge 10^{-5}.

Passo 7

Iteração 4 ( n=3 \to n=4): calcular f(x[3]), f'(x[3]) e x[4].
f(0{,}53549339520)\approx 0{,}00024255744138
f'(0{,}53549339520)\approx 3{,}7232258009
Aplicando Newton:
x[4]=0{,}53549339520-\frac{0{,}00024255744138}{3{,}7232258009}\approx 0{,}53542824808.
Verificação do critério:
|x[4]-x[3]|=|0{,}53542824808-0{,}53549339520|=0{,}000065147120896\ge 10^{-5}.

Passo 8

Iteração 5 ( n=4 \to n=5): calcular f(x[4]), f'(x[4]) e x[5].
f(0{,}53542824808)\approx 1{,}4557484773\times 10^{-8}
f'(0{,}53542824808)\approx 3{,}7227788895
Aplicando Newton:
x[5]=0{,}53542824808-\frac{1{,}4557484773\times 10^{-8}}{3{,}7227788895}\approx 0{,}53542824416.
Verificação do critério:
|x[5]-x[4]|=|0{,}53542824416-0{,}53542824808|\approx 3{,}9103812410\times 10^{-9}<10^{-5},
portanto satisfeito o critério e paramos.

Resposta

\displaystyle x\approx 0{,}53542824416

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