) Considere a função
. Estime o zero da função utilizando o método de Newton-Raphson e o chute inicial
. Como critério de parada, estabelece-se que
, onde
é a estimativa da raiz no passo
.
Solução:
Chute inicial:
Critério de parada:
Passo #1
Verificação do Critério de parada:
Passo #2
Verificação do Critério de parada:
Passo #3
Verificação do Critério de parada:
Passo #4
Verificação do Critério de parada:
Passo #5
Verificação do Critério de parada:
O zero da função
é, aproximadamente,
.
Chute inicial:
Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Verificação do Critério de parada:
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o zero da função
usando o método de Newton–Raphson com chute inicial
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
A tarefa final é a estimativa da raiz (o valor de
que faz
) obedecendo ao critério acima.
Passo 2
Apresento a ideia e a fórmula do método de Newton–Raphson (explicação didática).
A ideia é aproximar a função por sua reta tangente em e usar a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação
. A equação da reta tangente a
em
é
A ideia é aproximar a função por sua reta tangente em
A interseção com o eixo
ocorre quando
. Resolver
para
dá a fórmula iterativa
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é a nova aproximação; -
é a derivada de avaliada em , que representa a inclinação da tangente.
Passo 3
Calculo a derivada de
e mostro como avaliar
e
.
Derivando obtemos
Derivando
Explicação breve: a derivada de
é
(regra do poder) e a derivada de
é
(derivada do cosseno com sinal negativo).
Agora vamos aplicar a fórmula iterativa começando de
.
Passo 4
Iteração 1 (
): calcular
,
e
.
Aplicando Newton:
Verificação do critério:
portanto não paramos ainda.
Passo 5
Iteração 2 (
): calcular
,
e
.
Aplicando Newton:
Verificação do critério:
Passo 6
Iteração 3 (
): calcular
,
e
.
Aplicando Newton:
Verificação do critério:
Passo 7
Iteração 4 (
): calcular
,
e
.
Aplicando Newton:
Verificação do critério:
Passo 8
Iteração 5 (
): calcular
,
e
.
Aplicando Newton:
Verificação do critério:
portanto satisfeito o critério e paramos.