Resolva o sistema matricial pelo método de Gauss-Siedel, duas casas decimais corretas (manualmente) apresentando todas as fórmulas para obtenção de cada elemento, a cada iteração. Então, teste a solução obtida substituindo-a no sistema original. Que conclusão você obtem?

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva um sistema matricial pelo método de Gauss–Seidel com duas casas decimais corretas (feito manualmente), apresentando todas as fórmulas para obter cada elemento em cada iteração, e depois testar a solução substituindo-a no sistema original e afirmar a conclusão.
Informações dadas no enunciado: nenhuma explicitada (não foi fornecido o sistema, nem a matriz A, nem o vetor b, nem um palpite inicial para as iterações).
Consequência imediata: sem o sistema (isto é, sem a matriz A e o vetor b) não é possível calcular numericamente as iterações específicas nem apresentar resultados numéricos com duas casas decimais corretas.

Passo 2

O que exatamente eu precisaria para executar o pedido numericamente:
A x = b
onde A=(a_{ij}) é a matriz n\times n, x=(x_1,\dots,x_n)^\top é o vetor incógnita e b=(b_1,\dots,b_n)^\top é o vetor de termos independentes. Também é útil (mas opcional) fornecer um chute inicial \,x^{(0)}. Sem esses dados não há números para calcular.
Vou, então, mostrar tudo o que seria feito passo a passo no caso geral — fórmulas explicitíssimas, critério para duas casas decimais e como testar a solução — para que você possa aplicar manualmente ao sistema concreto (ou colar o sistema para eu calcular).

Passo 3

Derivação e fórmula geral do método de Gauss–Seidel (formas e significado das variáveis).
Considere o sistema linear em forma componente:
\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j = b_i,\qquad i=1,\dots,n.
Definimos iterações x^{(k)}=(x_1^{(k)},\dots,x_n^{(k)})^\top. No passo iterativo k\to k+1 calculamos, para cada i em ordem 1,\dots,n,
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigg(b_i-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\,x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigg).
Explicação das partes:
  • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na i-ésima equação (deve ser diferente de zero).
  • O primeiro somatório \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}\,x_j^{(k+1)} usa os valores mais recentes já calculados nesta mesma iteração (por isso Gauss–Seidel é sequencial).
  • O segundo somatório \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}\,x_j^{(k)} usa os valores da iteração anterior para as incógnitas ainda não atualizadas.
    Derivação curta: isolamos x_i na i-ésima equação e substituímos as estimativas conhecidas.

Passo 4

Exemplo simbólico explícito para n=3\) (mostra como escrever *todas* as fórmulas usadas em cada iteração). Sistema simbólico (sem valores numéricos): \[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1,\\[4pt] a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2,\\[4pt] a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3. \end{cases}
Fórmulas de Gauss–Seidel para este caso:
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a_{11}}\Big(b_1-a_{12}x_2^{(k)}-a_{13}x_3^{(k)}\Big),
x_2^{(k+1)}=\frac{1}{a_{22}}\Big(b_2-a_{21}x_1^{(k+1)}-a_{23}x_3^{(k)}\Big),
x_3^{(k+1)}=\frac{1}{a_{33}}\Big(b_3-a_{31}x_1^{(k+1)}-a_{32}x_2^{(k+1)}\Big).
Para realizar manualmente as iterações faça:
  • Escolha x^{(0)}=(x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)})\]. - Calcule \(x_1^{(1)} pela primeira fórmula (substituindo x_2^{(0)},x_3^{(0)}).
    - Em seguida calcule x_2^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_3^{(0)}.
    - Depois calcule x_3^{(1)} usando x_1^{(1)} e x_2^{(1)}.
    - Esse conjunto produz x^{(1)}. Repetir para k=1\to2 etc.
    Se você preferir, registre explicitamente a conta de cada elemento em cada iteração como, por exemplo,
x_1^{(1)}=\frac{1}{a_{11}}\big(b_1-a_{12}x_2^{(0)}-a_{13}x_3^{(0)}\big),
e assim por diante — todas as substituições são iguais a essas expressões, mas com os números correspondentes.]

Passo 5

Critério para “duas casas decimais corretas” e tolerância prática para parar iterações.
Para garantir que cada componente x_i esteja certo com duas casas decimais (arreondando), uma forma prática é exigir
\lvert x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\rvert < 0{,}005\quad\text{para todo }i=1,\dots,n.
Justificativa: se a mudança entre iterações for menor que 0{,}005, então ao arredondar para duas casas decimais os valores não mudam (considerando regra de arredondamento usual). Outra alternativa é usar a norma do vetor de diferenças:
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty=\max_i\lvert x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\rvert < 0{,}005.
Observação sobre convergência: o método Gauss–Seidel converge com garantia prática se A for estritamente diagonal dominante por linhas (i.e., \lvert a_{ii}\rvert>\sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert para todo i) ou se A for simétrica definida positiva. Se a matriz não satisfaz uma condição de convergência, o método pode divergir ou oscilar; portanto é bom checar essas condições antes de iterar muito.

Passo 6

Como testar a solução obtida (substituição no sistema e avaliação do residual).
Se após as iterações você obtiver x^{(*)} (vetor final), calcule o residual:
r=b-Ax^{(*)},
isto é, componente a componente
r_i=b_i-\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j^{(*)},\qquad i=1,\dots,n.
Se \lVert r\rVert (por exemplo \lVert r\rVert_\infty=\max_i|r_i|) for pequeno (por exemplo <10^{-3} ou uma tolerância compatível com as duas casas decimais), então x^{(*)} é uma boa aproximação. Caso contrário, é preciso mais iterações ou revisar convergência.

Passo 7

Procedimento manual completo que você deve seguir quando tiver a matriz numérica (resumo prático que você pode aplicar passo a passo):
  1. Escreva a matriz A=(a_{ij}) e b. Verifique se a_{ii}\neq0 para todo i.
  2. Verifique se A é estritamente diagonal dominante por linhas ou SPD (opcional, mas indica boa convergência).
  3. Escolha x^{(0)} (por exemplo, vetor zero).
  4. Use a fórmula de Gauss–Seidel para cada i e calcule x^{(1)}; anote cada subcálculo (por exemplo, calcule cada soma parcial \sum a_{ij}x_j explicitamente).
  5. Repita até que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<0{,}005.
  6. Ao final, calcule r=b-Ax^{(*)} e verifique \|r\|_\infty. Se estiver pequeno, aceite a solução arredondando cada x_i^{(*)} para duas casas decimais.
  7. Conclusão: se o residual for pequeno e a parada garantiu estabilidade em duas casas decimais, então a solução é válida para a sua prova.

Passo 8

Motivo pelo qual aqui não posso apresentar iterações numéricas “manuais” e finais com duas casas decimais: o enunciado não forneceu a matriz A, nem o vetor b, nem um chute inicial. Sem esses dados não há números a manipular e, portanto, não há como escrever as contas de cada elemento em cada iteração nem testar substituindo no sistema original.
Se você colar o sistema (por exemplo, a matriz 3×3 e o vetor 3×1, ou em outra dimensão) eu faço exatamente o procedimento acima: apresento todas as fórmulas com as substituições numéricas passo a passo, calculo iteração por iteração (manualmente) até atender a tolerância para duas casas decimais e por fim substituo no sistema e comento a conclusão.

Resposta

Não é possível executar numericamente o método de Gauss–Seidel e apresentar iterações com duas casas decimais porque o sistema linear A x = b (ou seja, a matriz A e o vetor b) não foi fornecido.

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