Resolva o sistema matricial pelo método de Gauss-Siedel, duas casas decimais corretas (manualmente) apresentando todas as fórmulas para obtenção de cada elemento, a cada iteração. Então, teste a solução obtida substituindo-a no sistema original. Que conclusão você obtem?
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva um sistema matricial pelo método de Gauss–Seidel com duas casas decimais corretas (feito manualmente), apresentando todas as fórmulas para obter cada elemento em cada iteração, e depois testar a solução substituindo-a no sistema original e afirmar a conclusão.
Informações dadas no enunciado: nenhuma explicitada (não foi fornecido o sistema, nem a matriz , nem o vetor
, nem um palpite inicial para as iterações).
Consequência imediata: sem o sistema (isto é, sem a matriz e o vetor
) não é possível calcular numericamente as iterações específicas nem apresentar resultados numéricos com duas casas decimais corretas.
Informações dadas no enunciado: nenhuma explicitada (não foi fornecido o sistema, nem a matriz
Consequência imediata: sem o sistema (isto é, sem a matriz
Passo 2
O que exatamente eu precisaria para executar o pedido numericamente:
onde
é a matriz
,
é o vetor incógnita e
é o vetor de termos independentes. Também é útil (mas opcional) fornecer um chute inicial
. Sem esses dados não há números para calcular.
Vou, então, mostrar tudo o que seria feito passo a passo no caso geral — fórmulas explicitíssimas, critério para duas casas decimais e como testar a solução — para que você possa aplicar manualmente ao sistema concreto (ou colar o sistema para eu calcular).
Vou, então, mostrar tudo o que seria feito passo a passo no caso geral — fórmulas explicitíssimas, critério para duas casas decimais e como testar a solução — para que você possa aplicar manualmente ao sistema concreto (ou colar o sistema para eu calcular).
Passo 3
Derivação e fórmula geral do método de Gauss–Seidel (formas e significado das variáveis).
Considere o sistema linear em forma componente:
Considere o sistema linear em forma componente:
Definimos iterações
. No passo iterativo
calculamos, para cada
em ordem
,
Explicação das partes:
-
é o coeficiente da incógnita na -ésima equação (deve ser diferente de zero). - O primeiro somatório
usa os valores mais recentes já calculados nesta mesma iteração (por isso Gauss–Seidel é sequencial). - O segundo somatório
usa os valores da iteração anterior para as incógnitas ainda não atualizadas.
Derivação curta: isolamosna -ésima equação e substituímos as estimativas conhecidas.
Passo 4
Exemplo simbólico explícito para
Fórmulas de Gauss–Seidel para este caso:
Para realizar manualmente as iterações faça:
- Escolha
pela primeira fórmula (substituindo
).
- Em seguida calculeusando e .
- Depois calculeusando e .
- Esse conjunto produz. Repetir para etc.
Se você preferir, registre explicitamente a conta de cada elemento em cada iteração como, por exemplo,
e assim por diante — todas as substituições são iguais a essas expressões, mas com os números correspondentes.]
Passo 5
Critério para “duas casas decimais corretas” e tolerância prática para parar iterações.
Para garantir que cada componente esteja certo com duas casas decimais (arreondando), uma forma prática é exigir
Para garantir que cada componente
Justificativa: se a mudança entre iterações for menor que
, então ao arredondar para duas casas decimais os valores não mudam (considerando regra de arredondamento usual). Outra alternativa é usar a norma do vetor de diferenças:
Observação sobre convergência: o método Gauss–Seidel converge com garantia prática se
for estritamente diagonal dominante por linhas (i.e.,
para todo
) ou se
for simétrica definida positiva. Se a matriz não satisfaz uma condição de convergência, o método pode divergir ou oscilar; portanto é bom checar essas condições antes de iterar muito.
Passo 6
Como testar a solução obtida (substituição no sistema e avaliação do residual).
Se após as iterações você obtiver (vetor final), calcule o residual:
Se após as iterações você obtiver
isto é, componente a componente
Se
(por exemplo
) for pequeno (por exemplo
ou uma tolerância compatível com as duas casas decimais), então
é uma boa aproximação. Caso contrário, é preciso mais iterações ou revisar convergência.
Passo 7
Procedimento manual completo que você deve seguir quando tiver a matriz numérica (resumo prático que você pode aplicar passo a passo):
- Escreva a matriz
e . Verifique se para todo . - Verifique se
é estritamente diagonal dominante por linhas ou SPD (opcional, mas indica boa convergência). - Escolha
(por exemplo, vetor zero). - Use a fórmula de Gauss–Seidel para cada
e calcule ; anote cada subcálculo (por exemplo, calcule cada soma parcial explicitamente). - Repita até que
. - Ao final, calcule
e verifique . Se estiver pequeno, aceite a solução arredondando cada para duas casas decimais. - Conclusão: se o residual for pequeno e a parada garantiu estabilidade em duas casas decimais, então a solução é válida para a sua prova.
Passo 8
Motivo pelo qual aqui não posso apresentar iterações numéricas “manuais” e finais com duas casas decimais: o enunciado não forneceu a matriz
, nem o vetor
, nem um chute inicial. Sem esses dados não há números a manipular e, portanto, não há como escrever as contas de cada elemento em cada iteração nem testar substituindo no sistema original.
Se você colar o sistema (por exemplo, a matriz 3×3 e o vetor 3×1, ou em outra dimensão) eu faço exatamente o procedimento acima: apresento todas as fórmulas com as substituições numéricas passo a passo, calculo iteração por iteração (manualmente) até atender a tolerância para duas casas decimais e por fim substituo no sistema e comento a conclusão.
Se você colar o sistema (por exemplo, a matriz 3×3 e o vetor 3×1, ou em outra dimensão) eu faço exatamente o procedimento acima: apresento todas as fórmulas com as substituições numéricas passo a passo, calculo iteração por iteração (manualmente) até atender a tolerância para duas casas decimais e por fim substituo no sistema e comento a conclusão.
Resposta
Não é possível executar numericamente o método de Gauss–Seidel e apresentar iterações com duas casas decimais porque o sistema linear
(ou seja, a matriz
e o vetor
) não foi fornecido.