Questão 2. (Valor 2,0 ) Enumere, localize e separe as raízes reais da equação:
x^{3}-4 x^{2}+2 x-3=0

Passo 1

O enunciado pede que eu enumere, localize e separe as raízes reais da equação
x^{3}-4x^{2}+2x-3=0.
Informações dadas: o polinômio é p(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-3. Não há figura nem outros dados. O objetivo concreto: (1) dizer quantas raízes reais existem, (2) indicar onde (em que intervalo) elas se encontram, e (3) isolar (separar) essas raízes em intervalos pequenos (por exemplo via bissecção) para que cada intervalo contenha exatamente uma raiz real.

Passo 2

Teste de raízes racionais (Regra de Gauss / Teorema das raízes racionais) — ideia e aplicação. A regra diz que, para um polinômio com coeficientes inteiros e termo líder 1 (monico), qualquer raiz racional escrita em forma irreduzível \frac{p}{q} tem p divisor do termo constante e q divisor do coeficiente líder; aqui o coeficiente líder é 1, então qualquer raiz racional inteira deve dividir o termo constante -3. Os candidatos inteiros são \pm1,\pm3. Vou testar:
p(1)=1-4+2-3=-4,
p(-1)=-1-4-2-3=-10,
p(3)=27-36+6-3=-6,
p(-3)=-27-36-6-3=-72.
Nenhum desses é zero, logo não há raízes racionais inteiras entre esses candidatos. Isso não prova quantas raízes reais existem, mas mostra que, se houver raiz racional, não é \pm1,\pm3.

Passo 3

Análise da monotonicidade pelo derivado — ideia: o sinal de p'(x) diz se p cresce ou decresce; pontos críticos (onde p'(x)=0) podem ser máximos ou mínimos locais. Calculo:
p'(x)=3x^{2}-8x+2.
Resolvo p'(x)=0 usando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot3\cdot2=64-24=40,
x=\frac{8\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}.
Numéricamente (para intuir o comportamento):
\frac{4-\sqrt{10}}{3}\approx \frac{4-3,1623}{3}\approx \frac{0,8377}{3}\approx 0,2792,
\frac{4+\sqrt{10}}{3}\approx \frac{7,1623}{3}\approx 2,3874.
Ou seja, p'(x)=0 em x\approx0,2792 e x\approx2,3874. Esses são, respectivamente, um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local (porque o coeficiente de x^{3} é positivo, o primeiro é máximo e o segundo mínimo).

Passo 4

Avalio p nesses pontos críticos para ver se a curva corta o eixo x nas oscilações: (aqui uso aproximações numéricas para os valores de x críticos)
p\!\left(\frac{4-\sqrt{10}}{3}\right)\approx p(0,2792)\approx 0,0217-0,3116+0,5584-3\approx -2,7315,
p\!\left(\frac{4+\sqrt{10}}{3}\right)\approx p(2,3874)\approx 13,607-22,797+4,774-3\approx -7,416.
Ambos os valores são negativos. Interpretação: o máximo local tem valor negativo e o mínimo local tem valor negativo também. Logo, mesmo com as “curvinhas” locais, o polinômio fica abaixo do eixo x nesses extremos; portanto a função p(x) não corta o eixo x em dois pontos distintos nas vizinhanças desses extremos — ela só poderá cruzar o eixo uma vez, quando passar de negativo para positivo para x grandes, já que \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty. Conclusão qualitativa: existe exatamente uma raiz real (pois um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo que tem ambos os extremos abaixo do eixo só cruza o eixo uma vez).

Passo 5

Aplicação do Teorema do Valor Intermediário para localizar a raiz entre inteiros (ideia: se p(a) e p(b) têm sinais opostos, existe ao menos uma raiz em (a,b)). Calculo alguns valores inteiros:
p(3)=27-36+6-3=-6,
p(4)=64-64+8-3=5.
Como p(3)=-6<0 e p(4)=5>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (3,4). Como no Passo 4 mostrei que só pode existir uma raiz real, essa é a única raiz real e ela está em (3,4).

Passo 6

Separação (isolamento) da raiz por bissecção — objetivo: obter um intervalo curto contendo a raiz, com cálculos passo a passo. Já sabemos raiz em (3,4). Vou aplicar bissecção repetida avaliando p em pontos médios até obter um intervalo pequeno:
  1. Centro de (3,4) é 3,5:
p(3,5)=42,875-49+7-3=-2,125<0,
logo a raiz está em (3,5,4) ou seja em (3,5,4) — mais claramente entre 3,5 e 4.
  1. Centro de (3,5,4) é 3,75:
p(3,75)=52,734375-56,25+7,5-3=0,984375>0,
logo a raiz está em (3,5,3,75).
  1. Centro de (3,5,3,75) é 3,625. Para evitar muitos cálculos com casas decimais longas, eu já tinha calculado com passos alternativos; aqui vou seguir uma sequência mais prática que já nos aproxima bem:
Avaliações úteis já calculadas (aproximações):
p(3,6)\approx -0,984<0,
p(3,7)\approx 0,293>0,
portanto raiz em (3,6,3,7).
  1. Centro de (3,6,3,7) é 3,65:
p(3,65)\approx -0,362875<0,
logo raiz em (3,65,3,7).
  1. Centro de (3,65,3,7) é 3,675:
p(3,675)\approx -0,042578<0.
  1. Centro de (3,675,3,7) é 3,6875. Em vez de avaliar 3,6875, eu já calculei um ponto próximo 3,68 que dá sinal positivo:
p(3,68)\approx 0,025432>0.
Como p(3,675)<0 e p(3,68)>0, pela bissecção a raiz está em
(3,675,\,3,68).
Esse intervalo tem largura 0,005, ou seja está bastante isolado. Se quisermos uma aproximação numérica da raiz por interpolação linear rápida entre os extremos:
\text{aprox. } x\approx 3,675+\frac{0-(-0,042578)}{0,025432-(-0,042578)}\cdot0,005\approx 3,678.

Resposta

Número de raízes reais: 1.
Localização grossa: a raiz está em (3,4).
Intervalo isolante por bissecção: a raiz está em (3,675,\,3,68) (aprox. \approx 3,678).

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