Questão 2. (Valor 2,0 ) Enumere, localize e separe as raízes reais da equação:
Passo 1
O enunciado pede que eu enumere, localize e separe as raízes reais da equação
Informações dadas: o polinômio é
. Não há figura nem outros dados. O objetivo concreto: (1) dizer quantas raízes reais existem, (2) indicar onde (em que intervalo) elas se encontram, e (3) isolar (separar) essas raízes em intervalos pequenos (por exemplo via bissecção) para que cada intervalo contenha exatamente uma raiz real.
Passo 2
Teste de raízes racionais (Regra de Gauss / Teorema das raízes racionais) — ideia e aplicação. A regra diz que, para um polinômio com coeficientes inteiros e termo líder 1 (monico), qualquer raiz racional escrita em forma irreduzível
tem
divisor do termo constante e
divisor do coeficiente líder; aqui o coeficiente líder é
, então qualquer raiz racional inteira deve dividir o termo constante
. Os candidatos inteiros são
. Vou testar:
Nenhum desses é zero, logo não há raízes racionais inteiras entre esses candidatos. Isso não prova quantas raízes reais existem, mas mostra que, se houver raiz racional, não é
.
Passo 3
Análise da monotonicidade pelo derivado — ideia: o sinal de
diz se
cresce ou decresce; pontos críticos (onde
) podem ser máximos ou mínimos locais. Calculo:
Resolvo
usando a fórmula de Bhaskara:
Numéricamente (para intuir o comportamento):
Ou seja,
em
e
. Esses são, respectivamente, um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local (porque o coeficiente de
é positivo, o primeiro é máximo e o segundo mínimo).
Passo 4
Avalio
nesses pontos críticos para ver se a curva corta o eixo
nas oscilações: (aqui uso aproximações numéricas para os valores de
críticos)
Ambos os valores são negativos. Interpretação: o máximo local tem valor negativo e o mínimo local tem valor negativo também. Logo, mesmo com as “curvinhas” locais, o polinômio fica abaixo do eixo
nesses extremos; portanto a função
não corta o eixo
em dois pontos distintos nas vizinhanças desses extremos — ela só poderá cruzar o eixo uma vez, quando passar de negativo para positivo para
grandes, já que
e
. Conclusão qualitativa: existe exatamente uma raiz real (pois um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo que tem ambos os extremos abaixo do eixo só cruza o eixo uma vez).
Passo 5
Aplicação do Teorema do Valor Intermediário para localizar a raiz entre inteiros (ideia: se
e
têm sinais opostos, existe ao menos uma raiz em
). Calculo alguns valores inteiros:
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Como no Passo 4 mostrei que só pode existir uma raiz real, essa é a única raiz real e ela está em
.
Passo 6
Separação (isolamento) da raiz por bissecção — objetivo: obter um intervalo curto contendo a raiz, com cálculos passo a passo. Já sabemos raiz em
. Vou aplicar bissecção repetida avaliando
em pontos médios até obter um intervalo pequeno:
- Centro de
é :
logo a raiz está em
ou seja em
— mais claramente entre
e
.
- Centro de
é :
logo a raiz está em
.
- Centro de
é . Para evitar muitos cálculos com casas decimais longas, eu já tinha calculado com passos alternativos; aqui vou seguir uma sequência mais prática que já nos aproxima bem:
Avaliações úteis já calculadas (aproximações):
portanto raiz em
.
- Centro de
é :
logo raiz em
.
- Centro de
é :
- Centro de
é . Em vez de avaliar , eu já calculei um ponto próximo que dá sinal positivo:
Como
e
, pela bissecção a raiz está em
Esse intervalo tem largura
, ou seja está bastante isolado. Se quisermos uma aproximação numérica da raiz por interpolação linear rápida entre os extremos:
Resposta
Número de raízes reais: 1.
Localização grossa: a raiz está em .
Intervalo isolante por bissecção: a raiz está em (aprox.
).
Localização grossa: a raiz está em
Intervalo isolante por bissecção: a raiz está em