\mathbf{2}^{\text {a }} Questão: Encontre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função racional
\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{2 - x}.
Esse é um caso clássico de forma indeterminada \tfrac{0}{0}, já que ao substituir x=2 tanto o numerador quanto o denominador viram zero. Para resolver, vamos usar fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Reconhecemos que
x^3 - 8 = x^3 - 2^3
é uma diferença de cubos. A fatoração padrão diz
x^3 - 2^3 = (x - 2)\,(x^2 + 2x + 4).
Então podemos reescrever a função como
\frac{x^3 - 8}{2 - x} = \frac{(x - 2)\,(x^2 + 2x + 4)}{2 - x}.

Passo 3

Note que 2 - x = -(x - 2). Substituindo isso na fração, obtemos
\frac{(x - 2)\,(x^2 + 2x + 4)}{2 - x} = \frac{(x - 2)\,(x^2 + 2x + 4)}{-(x - 2)} = -\bigl(x^2 + 2x + 4\bigr),
para todo x\neq2. Agora basta calcular o limite da expressão simplificada.

Passo 4

Substituindo x=2 em -\bigl(x^2 + 2x + 4\bigr), temos
-\bigl(2^2 + 2\cdot2 + 4\bigr) = -\bigl(4 + 4 + 4\bigr) = -12.

Resposta

-12

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