\mathbf{3}^{\text {a }} Questão (2 pontos): Determine se as seqüências convergem ou divergem, justificando:
\left((-1)^{n} \frac{\ln (n)}{n+\ln (n)}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = (-1)^{n}\,\frac{\ln(n)}{n + \ln(n)}.
O conteúdo é convergência de sequências pela análise do seu limite quando n\to\infty. Vamos calcular \lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Para estudar \lim_{n\to\infty}a_n, analisamos primeiro o módulo dos termos:
|a_n| = \frac{\ln(n)}{n + \ln(n)}.
Dividindo numerador e denominador por n, obtemos
\frac{\ln(n)}{n + \ln(n)} = \frac{\frac{\ln(n)}{n}}{1 + \frac{\ln(n)}{n}}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0, segue que
\lim_{n\to\infty}|a_n| = \frac{0}{1+0} = 0.

Passo 3

Dado que \lim_{n\to\infty}|a_n| = 0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Ou seja, a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\,\frac{\ln(n)}{n + \ln(n)} = 0.

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