O conteúdo é solução de EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos achar primeiro a solução homogênea y_h e depois uma particular y_p, e então aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
y''+2y'+5y=0
A equação característica é
r^2+2r+5=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm2i.
Logo
y_h(t)=e^{-t}\big(C_1\cos2t + C_2\sin2t\big).
Passo 3
Como o termo forçante é 4e^{-t}\cos2t\), que coincide com a forma de \(y_h\), usamos a técnica de coeficientes indeterminados com fator \(t\). Tomamos
\[y_p(t)=t\,e^{-t}\big(A\cos2t + B\sin2t\big).
Defina u(t)=t(A\cos2t+B\sin2t), de modo que y_p=e^{-t}u. Ao substituir na EDO nota-se que