A solução geral correta do problema de valor inicial,
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-t} \cos 2 t, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
é dada por:

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 5y = 4e^{-t}\cos2t,\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
O conteúdo é solução de EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos achar primeiro a solução homogênea y_h e depois uma particular y_p, e então aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''+2y'+5y=0
A equação característica é
r^2+2r+5=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm2i.
Logo
y_h(t)=e^{-t}\big(C_1\cos2t + C_2\sin2t\big).

Passo 3

Como o termo forçante é 4e^{-t}\cos2t\), que coincide com a forma de \(y_h\), usamos a técnica de coeficientes indeterminados com fator \(t\). Tomamos \[y_p(t)=t\,e^{-t}\big(A\cos2t + B\sin2t\big).
Defina u(t)=t(A\cos2t+B\sin2t), de modo que y_p=e^{-t}u. Ao substituir na EDO nota-se que
y_p''+2y_p'+5y_p = e^{-t}\bigl(u''+4u\bigr)
deve ser igual a 4e^{-t}\cos2t. Calcula-se
u''+4u = 4\bigl(-A\sin2t + B\cos2t\bigr)\stackrel!=4\cos2t,
o que dá o sistema
\begin{cases} -B = 0,\\\\ 4B = 4, \end{cases}
logo A=0\] e \(B=1. Assim
y_p(t)=t\,e^{-t}\sin2t.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =e^{-t}\bigl(C_1\cos2t + C_2\sin2t + t\sin2t\bigr).
Aplicando y(0)=1
1 = y(0)=C_1,
e para y'(0)=0 calcula-se usando y'=e^{-t}(v'-v) com v=C_1\cos2t+C_2\sin2t+t\sin2t. Isso leva a
0=y'(0)=2C_2-1\quad\Longrightarrow\quad C_2=\tfrac12.

Resposta

\boxed{y(t)=e^{-t}\Bigl(\cos2t + \bigl(t+\tfrac12\bigr)\sin2t\Bigr)}.

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