Resolva a derivada das seguintes funções utilizando a definição. (0,66 ponto cada)
f(x)=3 x^{3}+6 x^{2}-12 x-24

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3x^{3}+6x^{2}-12x-24 usando a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Para isso, vamos (1) calcular f(x+h), (2) formar a diferença f(x+h)-f(x), (3) dividir por h e (4) tomar o limite.

Passo 2

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h:
f(x+h) =3(x+h)^{3}+6(x+h)^{2}-12(x+h)-24.
Expandindo cada termo:
\begin{aligned} (x+h)^{3}&=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},\\\ (x+h)^{2}&=x^{2}+2xh+h^{2}, \end{aligned}
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\begin{aligned} f(x+h) &=3\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr) +6\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr) -12x-12h-24\\\ &=3x^{3}+9x^{2}h+9xh^{2}+3h^{3} +6x^{2}+12xh+6h^{2} -12x-12h-24. \end{aligned}

Passo 3

Formar a diferença e dividir por h:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &=\bigl[3x^{3}+9x^{2}h+9xh^{2}+3h^{3}+6x^{2}+12xh+6h^{2}-12x-12h-24\bigr]\\\ &\quad -\bigl[3x^{3}+6x^{2}-12x-24\bigr]\\\ &=9x^{2}h+9xh^{2}+3h^{3}+12xh+6h^{2}-12h. \end{aligned}
Dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =9x^{2}+9xh+3h^{2}+12x+6h-12.

Passo 4

Tomar o limite quando h\to0:
f'(x) =\lim_{h\to0}\bigl(9x^{2}+9xh+3h^{2}+12x+6h-12\bigr) =9x^{2}+12x-12.

Resposta

A derivada é
f'(x)=9x^{2}+12x-12.

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