Questão 2 (5 pontos) O corpo OB pode rotacionar ao redor ponto O (fixo) em torno do eixo z e o corpo ABD pode rotacionar ao redor do ponto B , ao redor do eixo y . O corpo OB tem velocidade angular constante de
em torno do eixo z e o corpo ABD tem velocidade constante de 3 rad/s ao redor do eixo y. Encontre a velocidade e aceleração do ponto D.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a velocidade e a aceleração do ponto
.
Dados fornecidos (peguei os comprimentos da imagem):
- A barra
pode girar em torno de ao redor do eixo com velocidade angular constante . - O conjunto
pode girar em torno de ao redor do eixo com velocidade angular constante . - Distâncias extraídas da figura:
- distância de
até : . - coordenadas do ponto
em relação a (posição de relativa a na peça): deslocamento horizontal de ao longo de e deslocamento vertical/plano de ao longo de (notei na figura que está no sentido negativo de ). Portanto (peguei estes números da imagem): -
. -
.
-
- distância de
Unidades: vou trabalhar em metros no cálculo. Não há acelerações angulares (
) porque as velocidades angulares são constantes.
Passo 2
Escolha do método e fórmulas principais (explicação didática curta mas completa):
- Velocidade de um ponto fixo de um corpo rígido que está ligado a um ponto
em movimento: onde é a velocidade do ponto (devida à rotação de ) e é a velocidade angular do corpo (a rotação em torno do eixo passando por ). A operação é o produto vetorial (cross product): ele dá um vetor perpendicular aos dois vetores e com magnitude . - Aceleração de
: Aqui porque é constante, então a terminação com some; sobra a aceleração centrípeta relativa a . - Para
e (movimento de por rotação de em torno de com constante): - Vou usar um sistema de eixos com vetores unitários
nas direções respectivas (conforme a figura): e .
Passo 3
Converter distâncias para metros e escrever vetores posicionais e vetores angulares:
-
com . -
com e . - Vetores angulares:
Passo 4
Calcular
passo a passo (produto vetorial):
- Primeiro escrevendo:
. - Usando regras do produto vetorial:
. - Logo
- Resultado:
Breve interpretação:
tem velocidade horizontal ao longo de
negativa (saiu da rotação ao redor de
).
Passo 5
Calcular a contribuição de velocidade de
relativa a
:
-
- Usando
e : - Multiplicando por
:
Passo 6
Somar para obter
:
-
- Portanto em componentes:
Passo 7
Calcular
(aceleração centrípeta de
):
- Já temos
. Então - Usando
: - Em componentes:
Interpretação: aceleração de
aponta no sentido negativo de
(centrípeta).
Passo 8
Calcular a contribuição de aceleração de
relativa a
devido à rotação
:
- Como
, a contribuição é apenas . - Usando a identidade vetorial
. Aqui (o componente de é zero), então . - Portanto
- Substituindo
:
Passo 9
Somar para obter
: