Questão 2 (5 pontos) O corpo OB pode rotacionar ao redor ponto O (fixo) em torno do eixo z e o corpo ABD pode rotacionar ao redor do ponto B , ao redor do eixo y . O corpo OB tem velocidade angular constante de 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} em torno do eixo z e o corpo ABD tem velocidade constante de 3 rad/s ao redor do eixo y. Encontre a velocidade e aceleração do ponto D.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a velocidade e a aceleração do ponto D.
Dados fornecidos (peguei os comprimentos da imagem):
  • A barra OB pode girar em torno de O ao redor do eixo z com velocidade angular constante \omega_{1}=2\\ \mathrm{rad/s}.
  • O conjunto ABD pode girar em torno de B ao redor do eixo y com velocidade angular constante \omega_{2}=3\\ \mathrm{rad/s}.
  • Distâncias extraídas da figura:
    • distância de O até B: 120\\ \mathrm{mm}.
    • coordenadas do ponto D em relação a B (posição de D relativa a B na peça): deslocamento horizontal de 160\\ \mathrm{mm} ao longo de x e deslocamento vertical/plano de 80\\ \mathrm{mm} ao longo de z (notei na figura que D está no sentido negativo de z). Portanto (peguei estes números da imagem):
      • \mathbf{r}_{B/O} = (0,\;120\\ \text{mm},\;0).
      • \mathbf{r}_{D/B} = (160\\ \text{mm},\;0,\;-80\\ \text{mm}).
Unidades: vou trabalhar em metros no cálculo. Não há acelerações angulares ( \dot\omega=0) porque as velocidades angulares são constantes.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas principais (explicação didática curta mas completa):
  • Velocidade de um ponto fixo de um corpo rígido que está ligado a um ponto B em movimento: \mathbf{v}_D=\mathbf{v}_B+\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B},onde \mathbf{v}_B é a velocidade do ponto B (devida à rotação de OB) e \boldsymbol{\omega}_2 é a velocidade angular do corpo ABD (a rotação em torno do eixo y passando por B). A operação \times é o produto vetorial (cross product): ele dá um vetor perpendicular aos dois vetores e com magnitude |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta.
  • Aceleração de D: \mathbf{a}_D=\mathbf{a}_B+\dot{\boldsymbol{\omega}}_2\times\mathbf{r}_{D/B}+\boldsymbol{\omega}_2\times(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B}).Aqui \dot{\boldsymbol{\omega}}_2=0 porque \omega_2 é constante, então a terminação com \dot{\boldsymbol{\omega}}_2 some; sobra a aceleração centrípeta \boldsymbol{\omega}_2\times(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}) relativa a B.
  • Para \mathbf{v}_B e \mathbf{a}_B (movimento de B por rotação de OB em torno de O com \omega_1 constante): \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_{B/O},\qquad \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\omega}_1\times(\boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_{B/O}).
  • Vou usar um sistema de eixos com vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} nas direções x,y,z respectivas (conforme a figura): \boldsymbol{\omega}_1=2\,\mathbf{k} e \boldsymbol{\omega}_2=3\,\mathbf{j}.

Passo 3

Converter distâncias para metros e escrever vetores posicionais e vetores angulares:
  • \mathbf{r}_{B/O} = (0,\;0{,}120\\ \text{m},\;0) = (0,\;0{,}120,\;0)\\ \text{m} com 120\\ \text{mm}=0{,}120\\ \text{m}.
  • \mathbf{r}_{D/B} = (0{,}160,\;0,\;-0{,}080)\\ \text{m} com 160\\ \text{mm}=0{,}160\\ \text{m} e 80\\ \text{mm}=0{,}080\\ \text{m}.
  • Vetores angulares: \boldsymbol{\omega}_1=2\,\mathbf{k},\qquad \boldsymbol{\omega}_2=3\,\mathbf{j}.

Passo 4

Calcular \mathbf{v}_B=\boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_{B/O} passo a passo (produto vetorial):
  • Primeiro escrevendo: \boldsymbol{\omega}_1=2\mathbf{k},\\ \mathbf{r}_{B/O}=(0,\;0{,}120,\;0).
  • Usando regras do produto vetorial: \mathbf{k}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i}.
  • Logo \mathbf{v}_B=2\mathbf{k}\times(0,\;0{,}120,\;0)=2\cdot0{,}120\;(\mathbf{k}\times\mathbf{j})=2\cdot0{,}120\;(-\mathbf{i})=-0{,}24\,\mathbf{i}.
  • Resultado: \mathbf{v}_B = (-0{,}24,\;0,\;0)\\ \mathrm{m/s}.
Breve interpretação: B tem velocidade horizontal ao longo de x negativa (saiu da rotação ao redor de z).

Passo 5

Calcular a contribuição de velocidade de D relativa a B:
  • \boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B}=3\mathbf{j}\times(0{,}160,\;0,\;-0{,}080).
  • Usando \mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k} e \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}: \mathbf{j}\times(0{,}160\,\mathbf{i} -0{,}080\,\mathbf{k}) = 0{,}160(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) -0{,}080(\mathbf{j}\times\mathbf{k}) =0{,}160(-\mathbf{k}) -0{,}080(\mathbf{i}) = -0{,}080\,\mathbf{i}-0{,}160\,\mathbf{k}.
  • Multiplicando por 3: \boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B} = -0{,}24\,\mathbf{i} -0{,}48\,\mathbf{k}.

Passo 6

Somar para obter \mathbf{v}_D:
  • \mathbf{v}_D=\mathbf{v}_B+\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B} =(-0{,}24\,\mathbf{i}) +(-0{,}24\,\mathbf{i}-0{,}48\,\mathbf{k}) = -0{,}48\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} -0{,}48\,\mathbf{k}.
  • Portanto em componentes: \mathbf{v}_D = (-0{,}48,\;0,\;-0{,}48)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\omega}_1\times(\boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_{B/O}) (aceleração centrípeta de B):
  • Já temos \mathbf{v}_B=-0{,}24\,\mathbf{i}. Então \mathbf{a}_B=\boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{v}_B = 2\mathbf{k}\times(-0{,}24\,\mathbf{i}).
  • Usando \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}: \mathbf{a}_B = 2\cdot(-0{,}24)\,\mathbf{j} = -0{,}48\,\mathbf{j}.
  • Em componentes: \mathbf{a}_B = (0,\;-0{,}48,\;0)\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: aceleração de B aponta no sentido negativo de y (centrípeta).

Passo 8

Calcular a contribuição de aceleração de D relativa a B devido à rotação \omega_2:
  • Como \dot{\boldsymbol{\omega}}_2=0, a contribuição é apenas \boldsymbol{\omega}_2\times(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B}).
  • Usando a identidade vetorial \mathbf{j}\times(\mathbf{j}\times\mathbf{r})=\mathbf{j}(\mathbf{j}\cdot\mathbf{r})-\mathbf{r}(\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}). Aqui \mathbf{j}\cdot\mathbf{r}_{D/B}=0 (o componente y de \mathbf{r}_{D/B} é zero), então \mathbf{j}\times(\mathbf{j}\times\mathbf{r}_{D/B})=-\mathbf{r}_{D/B}.
  • Portanto \boldsymbol{\omega}_2\times(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B}) = 3^2\left(-\mathbf{r}_{D/B}\right) = -9\,\mathbf{r}_{D/B}.
  • Substituindo \mathbf{r}_{D/B}=(0{,}160,0,-0{,}080): -9\,\mathbf{r}_{D/B}= -9(0{,}160\,\mathbf{i} -0{,}080\,\mathbf{k}) = -1{,}44\,\mathbf{i} +0{,}72\,\mathbf{k}.

Passo 9

Somar para obter \mathbf{a}_D:
  • \mathbf{a}_D=\mathbf{a}_B + \boldsymbol{\omega}_2\times(\boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_{D/B}) =(0,\;-0{,}48,\;0)+(-1{,}44,\;0,\;0{,}72) =(-1{,}44,\;-0{,}48,\;0{,}72)\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

\mathbf{v}_D = (-0{,}48,\;0,\;-0{,}48)\\ \mathrm{m/s}
\mathbf{a}_D = (-1{,}44,\;-0{,}48,\;0{,}72)\\ \mathrm{m/s^2}

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