\mathbf{5}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR = 3,0)
Fatore:
2 x^{7}+3 x^{6}+4 x^{5}+6 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio 2x^7 + 3x^6 + 4x^5 + 6x^4. Vamos usar primeiro a extração de fator comum e depois agrupamento para polinômios.

Passo 2

Identificamos que todos os termos têm pelo menos x^4 em comum, e os coeficientes 2,3,4,6 não têm outro fator comum além de 1. Então extraímos x^4:
2x^7 + 3x^6 + 4x^5 + 6x^4 = x^4\bigl(2x^3 + 3x^2 + 4x + 6\bigr).

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio de grau 3 por agrupamento. Primeiro separamos em dois grupos:
2x^3 + 3x^2 + 4x + 6 = (2x^3 + 3x^2) + (4x + 6).
Em cada grupo, fatoramos:
2x^3 + 3x^2 = x^2(2x + 3)
4x + 6 = 2(2x + 3)
Como ambos têm o binômio (2x+3), obtemos
2x^3 + 3x^2 + 4x + 6 = (x^2 + 2)\,(2x + 3).

Passo 4

Reunindo tudo, a fatoração completa é
2x^7 + 3x^6 + 4x^5 + 6x^4 = x^4\,(x^2 + 2)\,(2x + 3).

Resposta

x^4(x^2 + 2)(2x + 3)

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