\mathbf{2}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR = 2,4)
Qual o resto da divisão de x^{6}+x^{5}-x^{3}+x por:
x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de x^6 + x^5 - x^3 + x pelo polinômio x^2 + 3. Como o grau do divisor é 2, o resto terá grau menor que 2. Para encontrar esse resto, usamos a congruência
x^2 \equiv -3 \pmod{x^2+3},
substituindo nas potências de x.

Passo 2

Usando x^2 = -3 (módulo x^2+3), calculamos as potências até a sexta:
x^3 = x\cdot x^2 = x\cdot(-3) = -3x,\quad x^4 = x^2\cdot x^2 = (-3)\cdot(-3) = 9,
x^5 = x^4\cdot x = 9x,\quad x^6 = x^4\cdot x^2 = 9\cdot(-3) = -27.

Passo 3

Substituindo em x^6 + x^5 - x^3 + x, obtemos
x^6 + x^5 - x^3 + x = -27 + 9x -(-3x) + x = -27 + 9x + 3x + x = -27 + 13x.

Passo 4

O polinômio -27 + 13x tem grau menor que 2, logo é o resto da divisão.

Resposta

13x - 27

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