Questāo 3: (3 pontos)
Entre as duas integrais abaixo, escolha uma para resolver e entregar a solução.
\int e^{2 \theta} \operatorname{sen}(3 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int e^{2\theta}\sin(3\theta)\,d\theta
O método mais direto é usar integração por partes duas vezes e depois resolver a equação resultante para I.

Passo 2

Escolhemos em I=\int e^{2\theta}\sin(3\theta)\,d\theta:
u = e^{2\theta}, \quad dv = \sin(3\theta)\,d\theta.
Então
du = 2e^{2\theta}\,d\theta, \quad v = \int \sin(3\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{3}\cos(3\theta).
Aplicando partes:
I = uv - \int v\,du = -\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\cos(3\theta) - \int\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3\theta)\cdot 2e^{2\theta}\Bigr)d\theta
I = -\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\cos(3\theta) +\tfrac{2}{3}\int e^{2\theta}\cos(3\theta)\,d\theta.
Para simplificar, defina
J = \int e^{2\theta}\cos(3\theta)\,d\theta.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
J = \int e^{2\theta}\cos(3\theta)\,d\theta
com
u = e^{2\theta}, \quad dv = \cos(3\theta)\,d\theta
de onde
du = 2e^{2\theta}\,d\theta, \quad v = \int \cos(3\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{3}\sin(3\theta).
Logo,
J = uv - \int v\,du = \tfrac{1}{3}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \int \tfrac{1}{3}\sin(3\theta)\cdot 2e^{2\theta}\,d\theta
J = \tfrac{1}{3}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \tfrac{2}{3}\int e^{2\theta}\sin(3\theta)\,d\theta = \tfrac{1}{3}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \tfrac{2}{3}I.

Passo 4

Voltando à expressão de I,
I = -\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\cos(3\theta) + \tfrac{2}{3}J = -\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\cos(3\theta) + \tfrac{2}{3}\Bigl(\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \tfrac{2}{3}I\Bigr).
Distribuindo:
I = -\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\cos(3\theta) + \tfrac{2}{9}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \tfrac{4}{9}I.
Passando -\tfrac{4}{9}I para o lado esquerdo,
I + \tfrac{4}{9}I = -\tfrac{1}{3}e^{2\theta}\cos(3\theta) + \tfrac{2}{9}e^{2\theta}\sin(3\theta),
\tfrac{13}{9}I = e^{2\theta}\Bigl(\tfrac{2}{9}\sin(3\theta) - \tfrac{1}{3}\cos(3\theta)\Bigr).

Passo 5

Isolando I,
I = \frac{9}{13}\,e^{2\theta}\Bigl(\tfrac{2}{9}\sin(3\theta) - \tfrac{1}{3}\cos(3\theta)\Bigr) + C = e^{2\theta}\Bigl(\tfrac{2}{13}\sin(3\theta) - \tfrac{3}{13}\cos(3\theta)\Bigr) + C.

Resposta

\int e^{2\theta}\sin(3\theta)\,d\theta = e^{2\theta}\Bigl(\tfrac{2}{13}\sin(3\theta) - \tfrac{3}{13}\cos(3\theta)\Bigr) + C.

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