( \mathbf{5} val) Sobre Progressōes aritmética e geométrica, resolva os exercicios abaixo:
b) Determine o terceiro termo da PG em que a_{1}=0,125 e a_{4}=14.

Passo 1

O enunciado pede o terceiro termo de uma progressão geométrica cuja razão é desconhecida, dado que o primeiro termo é a_{1}=0,125 e o quarto termo é a_{4}=14. Em qualquer PG vale
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1},
logo precisamos usar a expressão para n=4 para encontrar r e depois calcular a_{3}.

Passo 2

Aplicando n=4 em a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}, temos
a_{4}=a_{1}\,r^{3}
ou seja,
0,125\,r^{3}=14.
Isolando r^{3}:
r^{3}=\frac{14}{0,125}=112,
portanto r=\sqrt[\,3]{112}.

Passo 3

Agora usamos n=3 em a_{n}=a_{1}r^{\,n-1}:
a_{3}=a_{1}\,r^{2} =0,125\bigl(\sqrt[\,3]{112}\bigr)^{2} =0,125\;112^{\tfrac{2}{3}}.
Para obter valor aproximado, note que \sqrt[3]{112}\approx4,822, então
a_{3}\approx0,125\times(4,822)^{2}\approx2,906.

Resposta

a_{3}=0,125\;112^{\tfrac{2}{3}}\approx2,906.

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