Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=3 x^{3 / 2}-1 de x=0 até x=1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = 3x^{3/2} - 1
no intervalo de x=0 até x=1.
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x):
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(3x^{3/2}-1\bigr) = 3\cdot\frac{3}{2}\,x^{1/2} = \frac{9}{2}\,x^{1/2}.

Passo 3

Substituímos f'(x) na fórmula de L:
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac{9}{2}x^{1/2}\Bigr)^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{81}{4}\,x}\,dx.

Passo 4

Simplificamos a raiz:
\sqrt{1 + \frac{81}{4}x} = \sqrt{\frac{4 + 81x}{4}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{4 + 81x}.
Logo
L = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}\,\sqrt{4 + 81x}\,dx = \frac{1}{2}\,\int_{0}^{1} \sqrt{4 + 81x}\,dx.

Passo 5

Para integrar \displaystyle \int \sqrt{4 + 81x}\,dx usamos a substituição
u = 4 + 81x, \quad du = 81\,dx, \quad dx = \frac{du}{81}.
Então
\int \sqrt{4 + 81x}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{81} = \frac{1}{81}\,\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{81}\,\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{2}{243}\,u^{3/2}.
Voltando a x, e multiplicando por \tfrac12, temos
L = \frac12 \cdot \frac{2}{243}\,\bigl(4 + 81x\bigr)^{3/2} = \frac{1}{243}\,\bigl(4 + 81x\bigr)^{3/2}
avaliado de 0 a 1:
L = \frac{1}{243}\Bigl[\,(4 + 81\cdot1)^{3/2} - (4 + 81\cdot0)^{3/2}\Bigr] = \frac{1}{243}\bigl(85^{3/2} - 4^{3/2}\bigr).

Resposta

L = \frac{85^{3/2} - 8}{243}.

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