Use a fórmula do comprimento de arco para determinar o comprimento da curva:
y=\left(x^{6}+8\right) /\left(16 x^{2}\right) de x=1 até x=3

Passo 1

Beleza, a gente precisa usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva y=y(x) no intervalo [1,3]:
L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,\mathrm{d}x.
Então o conteúdo é derivada e integração de funções algébricas, e o que vamos precisar é:
  1. Calcular y'(x).
  2. Simplificar 1+(y')^2.
  3. Integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro reescrevemos y numa forma mais simples e derivamos:
y = \frac{x^6+8}{16x^2} = \frac{x^4}{16} + \frac{1}{2}\,x^{-2},
então
y' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\frac{x^4}{16} + \tfrac12\,x^{-2}\Bigr) = \frac{x^3}{4} - x^{-3}.

Passo 3

Agora calculamos (y')^2:
(y')^2 = \Bigl(\frac{x^3}{4} - x^{-3}\Bigr)^2 = \frac{x^6}{16} + \frac{1}{x^6} - 2\cdot\frac{x^3}{4}\cdot\frac{1}{x^3} = \frac{x^6}{16} + \frac{1}{x^6} - \frac12.
Somando 1, fica
1 + (y')^2 = \frac{x^6}{16} + \frac{1}{x^6} + \frac12.

Passo 4

Perceba que isso é um quadrado perfeito, pois
\Bigl(\frac{x^3}{4} + \frac{1}{x^3}\Bigr)^2 = \frac{x^6}{16} + 2\cdot\frac{x^3}{4}\cdot\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^6} = \frac{x^6}{16} + \frac12 + \frac{1}{x^6}.
Logo
\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{x^3}{4} + \frac{1}{x^3}.

Passo 5

Agora o comprimento de arco vira uma integral fácil:
L = \int_{1}^{3}\Bigl(\frac{x^3}{4} + \frac{1}{x^3}\Bigr)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{3}\frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x \;+\;\int_{1}^{3}x^{-3}\,\mathrm{d}x.
As primitivas são
\int \frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x = \frac{x^4}{16}, \quad \int x^{-3}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2x^2}.

Passo 6

Avaliar de 1 a 3:
L = \Bigl[\frac{x^4}{16} - \frac{1}{2x^2}\Bigr]_{1}^{3} = \Bigl(\frac{81}{16} - \frac{1}{18}\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{16} - \frac12\Bigr) = \frac{721}{144} + \frac{7}{16} = \frac{784}{144} = \frac{49}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{49}{9}

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