( 4 valores) A base de um aquário com volume V=1000 \mathrm{~cm}^{3} é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um aquário retangular sem tampa cujo volume é fixo em V=1000, \mathrm{cm}^3. A base (área xy) é feita de ardósia, cujo custo por \mathrm{cm}^2 vale cinco vezes o custo do vidro. As quatro faces laterais (áreas xz e yz) são de vidro. Vamos usar cálculo de otimização com restrição de volume para minimizar o custo total dos materiais.

Passo 2

Sejam x e y as dimensões da base (em cm) e z a altura (em cm). O volume satisfaz
xyz = 1000.
Seja c o custo por \mathrm{cm}^2 do vidro; então o custo por \mathrm{cm}^2 da ardósia é 5c.

Passo 3

A área da base é xy, e a área total das quatro faces laterais é
2(xz + yz) = 2z\,(x+y).
Logo, o custo total é
C = (\text{custo da base}) + (\text{custo das laterais}) = 5c\,(xy) \;+\; c\,2z\,(x+y).
Para simplificar, defina
C' = \frac{C}{c} = 5\,xy + 2\,z\,(x+y).

Passo 4

Use a restrição z = \tfrac{1000}{xy} para eliminar z de C':
C' = 5\,xy + 2\,\frac{1000}{xy}\,(x+y) = 5\,xy + 2000\Bigl(\tfrac{x+y}{xy}\Bigr) = 5\,xy + 2000\Bigl(\tfrac1y + \tfrac1x\Bigr).

Passo 5

Para minimizar, iguale a zero as derivadas parciais de C':
\frac{\partial C'}{\partial x} = 5\,y - \frac{2000}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,y = \frac{2000}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{400}{x^2},
\frac{\partial C'}{\partial y} = 5\,x - \frac{2000}{y^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{400}{y^2}.

Passo 6

Substituindo y = 400/x^2 em x = 400/y^2 resulta em
x^3 = 400 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt[3]{400}\approx 7{,}368\;\mathrm{cm}.
Como simetricamente y=\tfrac{400}{x^2}, obtemos y=x. A altura vem de
z = \frac{1000}{xy} = \frac{1000}{x^2} = \frac{1000}{(\sqrt[3]{400})^2} \approx 18{,}42\;\mathrm{cm}.

Resposta

A base é quadrada com lado
x = y = \sqrt[3]{400}\,\mathrm{cm}\approx7{,}37\;\mathrm{cm},
e a altura é
z \approx 18{,}42\;\mathrm{cm}.

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