( 4 valores) A base de um aquário com volume
é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um aquário retangular sem tampa cujo volume é fixo em
,
. A base (área
) é feita de ardósia, cujo custo por
vale cinco vezes o custo do vidro. As quatro faces laterais (áreas
e
) são de vidro. Vamos usar cálculo de otimização com restrição de volume para minimizar o custo total dos materiais.
Passo 2
Sejam
e
as dimensões da base (em cm) e
a altura (em cm). O volume satisfaz
Seja
o custo por
do vidro; então o custo por
da ardósia é
.
Passo 3
A área da base é
, e a área total das quatro faces laterais é
Logo, o custo total é
Para simplificar, defina
Passo 4
Use a restrição
para eliminar
de
:
Passo 5
Para minimizar, iguale a zero as derivadas parciais de
:
Passo 6
Substituindo
em
resulta em
Como simetricamente
, obtemos
. A altura vem de
Resposta
A base é quadrada com lado
e a altura é