Problema 1(2,0) Calcule:
\operatorname{sen}\left(345^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{sen}(345^\circ). Vamos usar a circunferência unitária e a ideia de ângulo de referência para encontrar o valor exato de seno desse ângulo.

Passo 2

Na circunferência unitária, o ângulo 345^\circ está no quarto quadrante, onde o seno é negativo. Assim, teremos
\sin(345^\circ) = -\bigl|\sin(345^\circ)\bigr|.

Passo 3

O ângulo de referência de 345^\circ em relação ao eixo positivo de x é
360^\circ - 345^\circ = 15^\circ.

Passo 4

Para achar \sin(15^\circ), usamos a fórmula do ângulo diferença:
\sin(15^\circ)=\sin(45^\circ-30^\circ) =\sin(45^\circ)\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\sin(30^\circ).
Como \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}, \cos(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}, \sin(30^\circ)=\frac12 e \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}, segue
\sin(15^\circ) =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

Passo 5

Como \sin(345^\circ) é negativo no quarto quadrante e seu valor absoluto é \sin(15^\circ), temos
\sin(345^\circ)=-\sin(15^\circ) =-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

Resposta

\sin(345^\circ)=-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

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