Prove que (\|\vec{v}\| \vec{u}+\|\vec{u}\| \vec{v}) \perp(\|\vec{v}\| \vec{u}-\|\vec{u}\| \vec{v})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
\|\vec{v}\|\;\vec{u}+\|\vec{u}\|\;\vec{v}
e
\|\vec{v}\|\;\vec{u}-\|\vec{u}\|\;\vec{v}
são ortogonais, isto é, que o produto escalar entre eles é zero. Vamos usar a bilinearidade do produto escalar e a definição de norma \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}.

Passo 2

Calculemos o produto escalar:
\bigl(\|\vec{v}\|\vec{u}+\|\vec{u}\|\vec{v}\bigr)\cdot\bigl(\|\vec{v}\|\vec{u}-\|\vec{u}\|\vec{v}\bigr).
Pela distributividade, isso é
\|\vec{v}\|^2\,(\vec{u}\cdot\vec{u}) -\|\vec{u}\|^2\,(\vec{v}\cdot\vec{v}) +\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\bigl(\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}\bigr).

Passo 3

Como o produto escalar é comutativo, \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, o último termo anula-se. Além disso, \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 e \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2. Logo,
\|\vec{v}\|^2\,\|\vec{u}\|^2 -\|\vec{u}\|^2\,\|\vec{v}\|^2 =0.

Resposta

Como o produto escalar entre os dois vetores é zero, concluímos que
\|\vec{v}\|\vec{u}+\|\vec{u}\|\vec{v}
é perpendicular a
\|\vec{v}\|\vec{u}-\|\vec{u}\|\vec{v}.

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