(Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.) Dada a base \left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) ache uma base ortonormal \left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) tal que \vec{e}_{1} / / \vec{f}_{1} e \vec{e}_{2} seja combinação linear de \vec{f}_{1} e \vec{f}_{2}.
Aplicaçāo \overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}=(1,2,2), \overrightarrow{\mathrm{f}}_{2}=(1,0,1), \overrightarrow{\mathrm{f}}_{3}=(1,1,1).
Sugestão: \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}\right\|}; use o Exercício Resolvido no 7 para escrever diretamente \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}; use o Exercício Resolvido n O 8 para escrever diretamente \overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal \bigl(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\bigr) em \mathbb{R}^{3} obtida pelo processo de Gram–Schmidt a partir da base \bigl(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\bigr) com
\vec{f}_{1}=(1,2,2), \vec{f}_{2}=(1,0,1) e \vec{f}_{3}=(1,1,1).
O procedimento é:
  1. \vec{e}_{1} paralelo a \vec{f}_{1}, normalizado.
  2. \vec{e}_{2} obtido subtraindo de \vec{f}_{2} sua projeção em \vec{e}_{1} e depois normalizando.
  3. \vec{e}_{3} obtido subtraindo de \vec{f}_{3} as projeções em \vec{e}_{1} e em \vec{e}_{2} e normalizando.

Passo 2

Cálculo de \vec{e}_{1}:
\|\vec{f}_{1}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{9}=3,
\vec{e}_{1}=\frac{\vec{f}_{1}}{\|\vec{f}_{1}\|} =\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 3

Cálculo de \vec{e}_{2}:
Primeiro defino
u_{2}=\vec{f}_{2}-\bigl(\vec{f}_{2}\cdot\vec{e}_{1}\bigr)\,\vec{e}_{1}.
Como
\vec{f}_{2}\cdot\vec{e}_{1} =1\cdot\tfrac{1}{3}+0\cdot\tfrac{2}{3}+1\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1,
temos
u_{2} =(1,0,1)-1\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).
A norma de u_{2} é
\|u_{2}\|=\sqrt{\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}}=1,
logo
\vec{e}_{2} =\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 4

Cálculo de \vec{e}_{3}:
Defino
u_{3} =\vec{f}_{3} -\bigl(\vec{f}_{3}\cdot\vec{e}_{1}\bigr)\vec{e}_{1} -\bigl(\vec{f}_{3}\cdot\vec{e}_{2}\bigr)\vec{e}_{2}.
Calculando produtos:
\vec{f}_{3}\cdot\vec{e}_{1} =1\cdot\tfrac{1}{3}+1\cdot\tfrac{2}{3}+1\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{5}{3},
\vec{f}_{3}\cdot\vec{e}_{2} =1\cdot\tfrac{2}{3}+1\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) +1\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{1}{3}.
Então
u_{3} =(1,1,1) -\tfrac{5}{3}\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr) -\tfrac{1}{3}\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{9},\tfrac{1}{9},-\tfrac{2}{9}\Bigr).
A norma de u_{3} é
\|u_{3}\|=\sqrt{\tfrac{4}{81}+\tfrac{1}{81}+\tfrac{4}{81}}=\tfrac{1}{3},
portanto
\vec{e}_{3} =\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|} =\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr).

Resposta

\vec{e}_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr),\quad \vec{e}_{2}=\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr),\quad \vec{e}_{3}=\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr).

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