(Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.) Dada a base \left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) ache uma base ortonormal \left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) tal que \vec{e}_{1} / / \vec{f}_{1} e \vec{e}_{2} seja combinação linear de \vec{f}_{1} e \vec{f}_{2}.
Aplicaçāo \overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}=(1,2,2), \overrightarrow{\mathrm{f}}_{2}=(1,0,1), \overrightarrow{\mathrm{f}}_{3}=(1,1,1).
Sugestão: \overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}\right\|}; use o Exercício Resolvido no 7 para escrever diretamente \overrightarrow{\mathrm{e}}_{2}; use o Exercício Resolvido n O 8 para escrever diretamente \overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal \bigl(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\bigr) em \mathbb{R}^{3} obtida pelo processo de Gram–Schmidt a partir da base \bigl(\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\bigr) com \vec{f}_{1}=(1,2,2), \vec{f}_{2}=(1,0,1) e \vec{f}_{3}=(1,1,1).
O procedimento é:
\vec{e}_{1} paralelo a \vec{f}_{1}, normalizado.
\vec{e}_{2} obtido subtraindo de \vec{f}_{2} sua projeção em \vec{e}_{1} e depois normalizando.
\vec{e}_{3} obtido subtraindo de \vec{f}_{3} as projeções em \vec{e}_{1} e em \vec{e}_{2} e normalizando.